đề thi hsg môn toán 9 huyện tiền hải 2016-2017

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016
mÔN: TOÁN 9
(Thời gian làm bài 120 phút)




Bài 1 (4,0 điểm)
Cho biểu thức
với

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các số hữu tỉ x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Bài 2 (4,0 điểm)
Giải phương trình:

Tìm các cặp số tự nhiên (x, y) thỏa mãn: x2 – y2 + 7x = 0
Bài 3 (5,0 điểm)
1) Cho hệ phương trình:
(với m là tham số).
a) Giải hệ phương trình với m =
.
b) Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
c) Khi hệ phương trình có nghiệm duy nhất hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
2) Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 2 (với m > 1). Biết đồ thị của hàm số trên cắt hai trục tọa độ tại 2 điểm phân biệt A, B. Tìm m để diện tích tam giác OAB nhỏ nhất.
Bài 4 (5,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm E (E khác A và D), vẽ đường tròn tâm O đường kính BE. Đường tròn (O) cắt BC tại điểm thứ hai là M. Trên cạnh CD Lấy điểm N sao cho CN = CM. Gọi F là giao điểm của BN và CE.
a) Chứng minh rằng F thuộc đường tròn (O).
b) Đường tròn (O) cắt AC tại điểm thứ hai là I. Chứng minh ΔIBE vuông cân.
c) Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt đường thẳng EI tại K. Chứng minh ba điểm K, C, D thẳng hàng.
Bài 5 (2,0 điểm)
Cho tam giác có độ dài các cạnh là a, b, c và diện tích của tam giác là t, thỏa mãn: 
. Chứng minh tam giác đó là tam giác vuông.



Họ và tên thí sinh:...................................................................................
Số báo danh: ............................Phòng.....................................................

Bài
Nội dung
Điểm

Bài 1
(4đ)
Cho biểu thức

với

a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm các số hữu tỉ x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.


a)
Với điều kiện
ta có:


0.75




0.75




0.75


Vậy với điều kiện
thì

0.25

b)
Theo câu a, ta có:
với

Ta có:

0.5



. Vì A nguyên nên A có thể là 2; 3; 4
0.5


Tìm được và kết luận các giá trị của x cần tìm là: 0; ¼ ; 1
0.5

Bài 2
(4đ)
Giải phương trình:

Tìm cặp số tự nhiên (x, y) thỏa mãn x2 – y2 + 7x = 0


a)
ĐKXĐ:

0.25


Ta có:

0.5


Nếu
(loại)
0.5


Nếu
(t/m)
0.5


Vậy S={0}
0.25

b)
Giả sử tồn tại cặp số tự nhiên (x, y) thỏa mãn x2 – y2 + 7x = 0 (*)

4x2 – 4y2 + 28x = 0
4x2 + 28x + 49 – 4y2 = 49
0.25



(2x + 7)2 – (2y)2 = 49
(2x – 2y + 7)(2x + 2y + 7) = 49
0.5


Vì x
0, y
0
2x + 2y + 7 > 0
2x – 2y + 7 > 0
Nên ta có: 2x + 2y + 7
2x – 2y + 7 > 0
0.25


Mà 49 = 1.49 = 7.7 là các cách viết số 49 thành tích của 2 số nguyên dương nên ta có :
hoặc

0.25


Giải 2 hệ trên tìm được các cặp số (x; y) là (0; 0); (9; 12)
0.5


Vậy các cặp số tự nhiên (x, y) thỏa mãn bài toán là (0; 0); (9; 12)
0.25

Bài 3 (5đ)
1) Cho hệ phương trình:
(với m là tham số).
a) Giải hệ phương trình