đề thi hsg môn toán 9 huyện tiền hải 2014-2015

Phòng giáo dục - đào tạo
Tiền hải
Đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2013 - 2014
Môn: Toán 9
(Thời gian làm bài 120 phút)


Bài 1 (4 điểm)
a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình:
.
b) Chứng minh rằng nếu mỗi số tự nhiên a và b đều là tổng của hai số chính phương thì ab cũng là tổng của hai số chính phương.
Bài 2 (4 điểm)
1) Cho biểu thức:

a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của biểu thức A với
và

2) Đa thức f(x) khi chia cho
được số dư là 14 và khi chia cho
được số dư là 2.
Tìm đa thức dư trong phép chia đa thức f(x) cho đa thức:
.
Bài 3 (4,0 điểm)
Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + 7 = 0 (m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn |x1 – x2|= 12.
c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức: A =
có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 4 (6,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Vẽ các đường cao AD, BE, CF. Vẽ đường kính AK của đường tròn tâm O.
a) Chứng minh: AB.AC = AD.AK và SABC =

b) Chứng minh: OA vuông góc với EF
c) Vẽ đường tròn (I) đi qua B, C và tiếp xúc với AB tại B. Gọi M là giao điểm của cạnh AC với đường tròn (I), N là giao điểm của đường thẳng AD và đường thẳng BK. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, N, M thuộc một đường tròn.
Bài 5 (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A. D là một điểm nằm trong tam giác sao cho CD = CA. M là một điểm trên cạnh AB sao cho
. N là giao điểm của MD và đường cao AH của
ABC. Chứng minh DM = DN.

–––––––––––––––––––––––––––Hết–––––––––––––––––––––––––––

Phòng giáo dục - đào tạo
Tiền hải
kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2013 - 2014
đáp án và biểu điểm chấm môn : Toán 9
(Đáp án và biểu điểm chấm gồm 05trang)


Bài 1 (4,0 điểm)
a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình:
.
b) Chứng minh rằng nếu mỗi số tự nhiên a và b đều là tổng của hai số chính phương thì ab cũng là tổng của hai số chính phương.
Câu
Nội dung
Điểm

a)
(2điểm)
Ta có:

0.5




0.5




0.25


Lí luận, lập bảng tìm được các cặp (x, y) là : (0; -1); (0; 1); (3; -1), (3; 1)
0.5


Vậy các cặp số (x, y) cần tìm là: (0; -1); (0; 1); (3; -1), (3; 1)
0.25

b)
(2điểm)
Vì a và b đều bằng tổng của hai số chính phương nên ta có thể viết:
a = m2 + n2, b = c2 + d2 (m, n, c, d là các số nguyên)
0.25


Ta có: ab = (m2 + n2)(c2 + d2) = m2c2 + m2d2 + n2c2 + n2d2
0.5


 = (m2c2+n2d2+2mcnd)+(n2c2+m2d2 – 2mcnd)
0.5


 = (mc +nd)2 + (nc – md)2
0.5


Vậy nếu mỗi số tự nhiên a và b đều là tổng của hai số chính phương thì ab cũng là tổng của hai số chính phương.
0.25


Bài 2(4 điểm):
1) Cho biểu thức:

a. Rút gọn A
b. Tính giá trị của biểu thức A với
và

2) Đa thức f(x) khi chia