Đề thi HSG môn toán 9 QT năm 08-09

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
Năm học 2008 – 2009
Môn : Toán
Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề )


Bài 1 (5 điểm)
Cho biểu thức
.
Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa .
Rút gọn biểu thức A .
Bài 2 (4 điểm)
Giả sử x1 ; x2 là nghiệm của phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0 .
Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức :
.
Bài 3 (3 điểm)
Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
.
Bài 4 (2 điểm)
Cho phương trình :
.

Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa .
Giải phương trình .
Bài 5 (6 điểm)
Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD và
. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G . Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD . Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao cho DF = GB
Chứng minh
đồng dạng với
.
Chứng minh
.
HẾT

















Giải
Bài 1 (5 điểm)
Cho biểu thức
.
Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa .
Rút gọn biểu thức A .
Điều kiện :



Bài 2 (4 điểm)
Giả sử x1 ; x2 là nghiệm của phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0 .
Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức :
.
Phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2
.
Khi đó ta có :
Vậy :

Kết hợp (*) và (**) ta có :

Vậy để phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa :
thì :
và
.
Bài 3 (3 điểm)
Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
.
Ta có : x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0

x3 + 3x2 + 3x +1 + y3 + 3y2 + 3y + 1 + x + y + 2 = 0

(x + 1)3 + (y + 1)3 + (x + y + 2) = 0

(x + y + 2)[(x + 1)2 – (x + 1)(y + 1) + (y + 1)2 + 1] = 0 (*)


Nên (*)
x + y + 2 = 0
x + y = - 2

vì
.
Vậy MaxM = -2
x = y = -1 .

Bài 5 (6 điểm)
Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD và
. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G . Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD . Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao cho DF = GB
Chứng minh
đồng dạng với
.
Chứng minh
.
ABCD : AB // CD ; CD > AB ;
.

; AG = CE ; BG = DF .











Chứng minh :
a)
~
.
b)



Chứng minh :
a) Ta có AB // CD
, mà AG = CE ; BG = DF

Xét
và
có :

~
( c-g-c)
b) Ta có
~


GFCE nội tiếp

cùng chắn
mà