ĐỀ THI HSG LỚP 9 (VĨNH PHÚC)
Chia sẻ bởi Đoàn Công Bộ |
Ngày 13/10/2018 |
44
Chia sẻ tài liệu: ĐỀ THI HSG LỚP 9 (VĨNH PHÚC) thuộc Đại số 9
Nội dung tài liệu:
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009 – 2010
--------------------------
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
——————————
Câu 1. (2.5 điểm)
Giải hệ phương trình:
Câu 2. (2.0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương có tính chất với mỗi số nguyên lẻ mà thì n chia hết cho a.
Câu 3. (3.0 điểm)
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (). là ba đường cao . Đường thẳng cắt tại đường thẳng cắt lại đường tròn tại điểm .
Chứng minh rằng bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn.
Gọi là trung điểm cạnh và là trực tâm tam giác . Chứng minh rằng
Câu 4. (1.5 điểm)
Chứng minh rằng:
với mọi
Câu 5. (1.0 điểm)
Mỗi ô vuông đơn vị của bảng kích thước (10 dòng, 10 cột) được ghi một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho bất kỳ hai số nào ghi trong hai ô chung một cạnh hoặc hai ô chung một đỉnh của bảng là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng có số được ghi ít nhất 17 lần.
—Hết—
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ tên thí sinh:……………………………………………………Số báo danh:…………………
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
HƯỚNG DẪN CHẤM
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn: Toán 9
Câu 1. (2.5 điểm).
Nội dung trình bày
Điểm
Viết lại phương trình thứ hai của hệ về dạng
Coi đây là phương trình bậc hai, ẩn là tham số. Có
0.5
Từ đó, tìm được
0.25
Nếu , thay vào phương trình thứ nhất, giải được
0.5
Với thì
Với thì
Với thì
0.25
Nếu , thay vào phương trình thứ nhất, giải được
0.5
Với thì
Với thì
Với thì
0.25
Vậy, các nghiệm của hệ là
0.25
Câu 2. (2.0 điểm)
Nội dung trình bày
Điểm
Gọi là số lẻ lớn nhất mà Khi ấy
0.25
Nếu thì là các ước lẻ của Để ý rằng, các số này nguyên tố cùng nhau đôi một, nên . Suy ra
. Vô lý (do ).
0.5
Do đó hoặc hoặc
0.25
Nếu thì
0.25
Nếu thì (do )
0.25
Nếu thì (do )
0.25
Vậy tất cả các số nguyên dương cần tìm là 1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,18,21,24,30,45
0.25
Câu 3. (3.0 điểm)
Nội dung trình bày
Điểm
1. Chứng minh rằng bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn.
1.5
Nhận xét: Cho tứ giác ABCD, P là giao điểm của AB và CD. Tứ giác ABCD nội tiếp
khi và chỉ khi:
Áp dụng nhận xét trên cho tứ giác nội tiếp, ta được
( Nếu học sinh áp dụng luôn vẫn cho điểm tối đa)
0.5
Áp dụng cho tứ giác nội tiếp, ta được
0.5
Suy ra
0.25
Do đó, tứ giác nội tiếp.
0.25
2. Gọi là trung điểm cạnh và là trực tâm tam giác . Chứng minh rằng
1.5
Theo kết quả phần 1, và tứ giác AEHF nội tiếp suy ra nằm trên đường tròn đường kính , do đó .
0.25
Tia cắt lại đường tròn tại , khi đó do nên là đường kính của .
0.25
Từ đó suy ra . Suy ra , do đó là hình bình hành. Suy ra đi qua
0.5
Khi đó thẳng hàng.
0.25
Trong tam giác có hai đường cao cắt nhau tại nên là trực tâm của tam giác . Suy ra
0.25
Câu 4. (1.
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009 – 2010
--------------------------
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
——————————
Câu 1. (2.5 điểm)
Giải hệ phương trình:
Câu 2. (2.0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương có tính chất với mỗi số nguyên lẻ mà thì n chia hết cho a.
Câu 3. (3.0 điểm)
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (). là ba đường cao . Đường thẳng cắt tại đường thẳng cắt lại đường tròn tại điểm .
Chứng minh rằng bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn.
Gọi là trung điểm cạnh và là trực tâm tam giác . Chứng minh rằng
Câu 4. (1.5 điểm)
Chứng minh rằng:
với mọi
Câu 5. (1.0 điểm)
Mỗi ô vuông đơn vị của bảng kích thước (10 dòng, 10 cột) được ghi một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho bất kỳ hai số nào ghi trong hai ô chung một cạnh hoặc hai ô chung một đỉnh của bảng là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng có số được ghi ít nhất 17 lần.
—Hết—
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ tên thí sinh:……………………………………………………Số báo danh:…………………
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
HƯỚNG DẪN CHẤM
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn: Toán 9
Câu 1. (2.5 điểm).
Nội dung trình bày
Điểm
Viết lại phương trình thứ hai của hệ về dạng
Coi đây là phương trình bậc hai, ẩn là tham số. Có
0.5
Từ đó, tìm được
0.25
Nếu , thay vào phương trình thứ nhất, giải được
0.5
Với thì
Với thì
Với thì
0.25
Nếu , thay vào phương trình thứ nhất, giải được
0.5
Với thì
Với thì
Với thì
0.25
Vậy, các nghiệm của hệ là
0.25
Câu 2. (2.0 điểm)
Nội dung trình bày
Điểm
Gọi là số lẻ lớn nhất mà Khi ấy
0.25
Nếu thì là các ước lẻ của Để ý rằng, các số này nguyên tố cùng nhau đôi một, nên . Suy ra
. Vô lý (do ).
0.5
Do đó hoặc hoặc
0.25
Nếu thì
0.25
Nếu thì (do )
0.25
Nếu thì (do )
0.25
Vậy tất cả các số nguyên dương cần tìm là 1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,18,21,24,30,45
0.25
Câu 3. (3.0 điểm)
Nội dung trình bày
Điểm
1. Chứng minh rằng bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn.
1.5
Nhận xét: Cho tứ giác ABCD, P là giao điểm của AB và CD. Tứ giác ABCD nội tiếp
khi và chỉ khi:
Áp dụng nhận xét trên cho tứ giác nội tiếp, ta được
( Nếu học sinh áp dụng luôn vẫn cho điểm tối đa)
0.5
Áp dụng cho tứ giác nội tiếp, ta được
0.5
Suy ra
0.25
Do đó, tứ giác nội tiếp.
0.25
2. Gọi là trung điểm cạnh và là trực tâm tam giác . Chứng minh rằng
1.5
Theo kết quả phần 1, và tứ giác AEHF nội tiếp suy ra nằm trên đường tròn đường kính , do đó .
0.25
Tia cắt lại đường tròn tại , khi đó do nên là đường kính của .
0.25
Từ đó suy ra . Suy ra , do đó là hình bình hành. Suy ra đi qua
0.5
Khi đó thẳng hàng.
0.25
Trong tam giác có hai đường cao cắt nhau tại nên là trực tâm của tam giác . Suy ra
0.25
Câu 4. (1.
* Một số tài liệu cũ có thể bị lỗi font khi hiển thị do dùng bộ mã không phải Unikey ...
Người chia sẻ: Đoàn Công Bộ
Dung lượng: 291,50KB|
Lượt tài: 0
Loại file: doc
Nguồn : Chưa rõ
(Tài liệu chưa được thẩm định)