Đề thi HSG lớp 9 và thi vào cấp 3

bộ giáo dục và đào tạo
trường đại học sư phạm hà nội Đề chính thức


đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên năm 2005
Môn: Toán 2
Ngày thi thứ hai: 15/06/2005
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu 1. Cho P(x) = (x3+(x3+(x+1)3+(x+2)3 , thực hiện các phép tính có thể viết P(x) dưới dạng P(x)= a x3 + b x2 +c x + d .
Hãy tính tổng S = a + b + c +d
Câu 2. Cho 4 số tương đương a,b,c,d. Đặt:
x = 2a + b - 2, y = 2b + c - 2
z = 2c + d - 2, t = 2d + a - 2
Chứng minh rằng trong 4 số x, y, z, t có ít nhất hai số dương.
Câu 3: Tìm tất cả các số nguyên n sao cho số T = 2n + 3n + 4n là bình phương của một số nguyên.
Câu 4: Cho tam giác đều ABC, E là một điểm thuộc cạnh AC (E ≠ A). K là trung điểm của đoạn thẳng AE.Đường thẳng EF đi qua E và vuông góc với đưòng thẳng AB (F AB) cắt đường thẳng đi qua C và vuông góc với đường thẳng BC tại D.
a./ Chứng minh tứ giác BCKF là hình thang cân.
b./ Chứng minh KE.EC = ED.EF
c./ xác định vị trí của E sao cho đoạn KD có độ dài ngắn nhất.
Câu 5: Trên mặt bàn có 2005 đồng xu kích thước bằng nhau, mỗi đồng xu có hai mặt: một mặt màu xanh, một mặt màu đỏ, tất cả các đồng xu đều ngửa mặt xanh lên trên. Thực hiện trò chơi sau đây: mỗi lượt chơi phải đổi mặt 4 đồng xu nào đó trên mặt bàn . Hỏi sau 2006 lượt chơi có thể nhận đựoc tất cả2005 đồng xu trên mặt bàn đều ngửa mặt đỏ lên trên hay không? Giải thích tại sao.

Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:................................ Số báo danh: .................




bộ giáo dục và đào tạo cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
trường đại học sư phạm hà nội Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Đề chính thức

Đề thi tuyển sinh
vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2008
Môn thi: Toán học
(Dùng riêng cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên tin)
Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1: Ba số dương a, b, c thoả mãn: b ≠ c , + ≠ và a + b = + - )2 .
Chứng minh đẳng thức:

Câu 2:
1. Với mỗi số dương a thoả mãn a3 = 6(a+1), Chứng minh phương trình sau vô nghiệm:
x2 + ax + a2 - 6 = 0
2. Tìm tất cả các giá trị của a và b sao cho:
2(a2 +1)(b2+1) = (a+1)(b+1)(ab+1).
Câu 3: Ba số nguyên dương a, b, c đôi một khác nhau