De Thi HSG Lop 9 Toan-2011

sở giáo dục và đào tạo tuyên quang
Kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 thcs Năm học 2010 - 2011


Đề chính thức
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài : 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
Đề này có 01 trang


Câu 1 (3 điểm). Cho 3 số a, b, c khác 0 thoả mãn: và
Chứng minh rằng:
Câu 2 (3 điểm). Cho 3 số x, y, z thoả mãn:

Tính giá trị biểu thức P = x2008 + y2009 + z2010.

Câu 3 (3 điểm). Cho biểu thức
a) Phân tích biểu thức P ra thừa số.
b) Chứng minh rằng P chia hết cho 120 với mọi số nguyên n.

Câu 4 (3 điểm). Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình (x, y là các ẩn số)

Câu 5 (6 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại C, đường cao CH. O là trung điểm AB, đường thẳng d đi qua C và vuông góc với OC. Gọi D, E lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B tới đường thẳng d.
a) Chứng minh rằng: AH = AD; BH = BE .
b) Chứng minh rằng: AD.BE = CH2 .
c) Chứng minh rằng: DH // BC.
d) Cho góc và BC = a. Tính diện tích hình thang vuông ABED theo a.

Câu 6 (2 điểm). Cho hai số a, b thỏa mãn a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng:
0 < a + b ≤ 2.

HẾT……………..







sở giáo dục và đào tạo tuyên quang

đáp án Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9 thcs cấp tỉnh
Năm học 2010 - 2011


Môn thi: Toán


Câu
Hướng dẫn giải
Điểm

1()
Cho 3 số a, b, c khác 0 thoả mãn: 1) và a+b+c=abc (2).
Chứng minh rằng:
Từ giả thiết (1), bình phương 2 vế ta được:
(
Từ giả thiết (2), do abc≠0, nên chia 2 vế cho abc ta được:
Thay vào (*) ta được:





1,5


1,5

2()
Cho 3 số x, y, z thoả mãn: Tính giá trị biểu thức P=x2008+y2009+z2010.
Vì x2, y2, z2 > 0, nên từ (2) ( x2, y2, z2 < 1 ( -1 < x, y, z < 1 (
( x3+y3+z3 < x2+y2+z2 = 1. Nhưng do (3) ( ( x, y, z chỉ có thể là 0 hoặc 1
( x2008=x, y2009=y, z2010=z ( P=x2008+y2009+z2010=x+y+z=1 (theo (1))








1






1
1






3()
Cho biểu thức
a) Phân tích biểu thức P ra thừa số.
b) Chứng minh rằng P chia hết cho 120 với mọi số nguyên n.
a) Ta có:

b) Ta có 120 = 3.5.8
- Vì P là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên P chia hết cho 3 5.
- Nếu n chẵn thì n - 2 và n + 2 cũng chẵn nên P chia hết cho 8.
- Nếu n lẻ: n = 2p + 1 thì (n - 1)(n +1) = 4p(p + 1) chia hết cho 8
Vậy P chia hết cho 120 (do 3, 5 8 đôi một nguyên tố cùng nhau)




1,5

0,5
0,5
0