DE THI HSG LOP 9 TAP 3

Phòng GD & ĐT Đông sơn Đề thi học sinh giỏi lớp 9 (Bảng A)
Môn : Toán (Thời gian làm bài: 150 phút.)
Bài 1: Cho biểu thức: A =
:

a, Rút gọn biểu thức A.
b, Tính giá trị biểu thức A khi x = 3 +
; y = 3 -

(Đề sáng tác)
Bài 2: Cho 3 số a, b, c
0 thỏa mãn: a
b
c và a3+b3 +c3 = 3abc.
P =
; Q =

Chứng minh rằng : P.Q = 9.
(Tương tự bài 53-"23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp")
Bài 3: Giải phơng trình : (4x – 1)
= 2(x2+1) + 2x -1.
(Bài 16 -trang 11-"Phương trình và hệ phương trình không mẫu mực")
Bài 4: Giải hệ phương trình sau:



(Đề sáng tác)
Bài 5: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3 và x4+y4+z4 =3xyz. Hãy tính giá trị của biểu thức M = x2006 + y2006 + z2006
(Đề sáng tác )
Bài 6: Cho Parabol (P) có phương trình y = x2 và điểm A(3;0) ; Điểm M thuộc (P) có hoành độ a.
a) Xác định a để đoạn thẳng AM có độ dài ngắn nhất .
b) Chứng minh rằng khi AM ngắn nhất thì đường thẳng AM vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại điểm M.
(Bài 579-"23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp")
Bài 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x3 + x2 + x +1 = 2003y
(Đề sáng tác)
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông ở A. I là trung điểm của cạnh BC, D là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Đường trung trực của AD cắt các đường trung trực của AB, AC theo thứ tự tại E và F.
a) Chứng minh rằng: 5 điểm A,E,I,D,F cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh rằng: AE.AC = AF.AB.
c) Cho AC = b; AB = c. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AEF theo b, c
( Đề sáng tác)
Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A. Một điểm P di động trên BC. Qua P vẽ PQ//AC
(Q
AB) và PR//AB (R
AC). Tìm quỹ tích các điểm D đối xứng với P qua QR.
(Bài 1000 -"23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp")


Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9
Môn : Toán

Bài
 Lời giải
Biểu điểm


a) ĐKXĐ : x >0 ; y>0 ; x
y
A =
:

=
.

=
.

=
.
=

b) Với x= 3 +
Và y = 3 -
ta có : x >y do đó
A =

Mà A2 =

Vậy : A =

0,25









0,75


0,25




0,75


Ta có : a3 + b3 + c3 = 3abc
a3 + b3 + c3 -3abc = 0

(a + b + c ) ( a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc ) = 0 (1)
Mà a2 + b2 + c2 - ab – ac –bc =
[(a –b )2 + (b – c)2 +(c-a)2 ]
0
( Do a
b
c )
Do đó:(1)
a +b +c = 0
a +b = - c ; a +c = -b ; b +c = -a (2)
Mặt khác :
P =

P =
(3)
Hơn nữa :
Đặt
Ta có
(do (2) )
Vì thế :
Q =

= -
( Biến đổi tương tự rút gọn P )
= -

=
(4)
Từ (3) và (4) ta có : P.Q=

Vậy P.Q = 9





0,5





0,5















0,75


0,25


 (4x – 1)
2(x2 +1) +2x -1 (5)