Đề thi HSG Lam dong

PHÒNG GIÁO DỤC –ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
HUYỆN ĐỨC TRỌNG NĂM HỌC 2009- 2010
MÔN THI : TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian phát đề)
ĐỀ BÀI:
Bài 1(1đ): Tính giá trị biểu thức sau:
A=

Bài 2(1,5đ): Tìm đa thức bậc hai P(x). Biết rằng đa thức đó chia cho các đa thức (x-1); (x+1); (x+2) có số dư lần lượt là 6027; 2009; 6030.

Bài 3(1,5đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 - 28x2 - 31x + 58

Bài 4(1đ)): Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm với mọi x
R.

x4 - x3 + 2x2 - x + 1 = 0

Bài 5(2 đ): Giải hệ phương trình sau:

Bài 6(1 đ): Với a; b; c là các số dương thỏa
.
Chứng minh rằng:

Bài 7(1,5 đ): Chứng minh rằng:
là số vô tỷ.
Bài 8(1 đ): Chứng minh rằng tổng của tích bốn số nguyên dương liên tiếp với 1 là một số chính phương.

Bài 9(1,5 đ): Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, thì phân số sau:
tối giản.

Bài 10(1 đ): Chứng minh rằng với mọi n là số tự nhiên lẻ, thì

Bài 11(2 đ): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R).Chứng minh rằng :
.
Bài 12(2 đ): Cho AB, BC, CA là ba dây cung của đường tròn (O). Gọi AE là phân giác của góc BAC, E
BC. Chứng minh : AB.AC - EB.EC=AE2.
Bài 13(3 đ): Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi BN; CM lần lượt là các đường cao (M
AB; N
AC).
a/ Chứng minh rằng: MN // BC.
b/ Cho AB = c ;BC = a . Tính MN theo a và c.

------------HẾT-----------







ĐÁP ÁN CHẤM BÀI THI
HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 MÔN TOÁN
NĂM HỌC : 20009 -2010.
Bài 1(1đ):Tính giá trị biểu thức sau:
A=

=
(0,5 đ)
(0,5 đ)
Bài 2(1,5đ):Tìm đa thức bậc hai P(x).Biết rằng đa thức đó chia cho các đa thức (x-1); (x+1); (x+2) có số dư lần lượt là 6027; 2009; 6030.
Lập luận được p(1)=6027; p(-1)=2009; p(-2)=6030 (0,5 đ)
Đưa được về hệ phương trình
(0,5 đ)
Giải hệ tìm được a,b,c và kết luận được đa thức cần tìm :2010x2+2009x+2008 (0,5 đ)

Bài 3(1,5đ):Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3 - 28x2 - 31x + 58
Tách số hạng hợp lý để nhóm :x3-27x2-x2-58x+27x+58 (0,5 đ)
Đưa về (x-1)(x2-27x-58) (0,5 đ)
Tách và phân tích (x2-27x-58) và đưa về kết quả cuối cùng
(x-1)(x+2)(x-29) (0,5 đ)

Bài 4(1đ)):Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm với mọi x
R.

x4 - x3 + 2x2 - x + 1 = 0 (0,5 đ)
Phân tích được vế trái đưa về phương trình tích
(x2+1)(x2-x+1)=0 (0,5 đ)
Lập luận được vế trái luôn dương với mọi x,kết luận phương trình vô nghiệm

Bài 5(2 đ):Giải hệ phương trình sau:

Đưa hệ đả cho về hệ
(0,5 đ)
Đặt biến phụ u=x+y ;v=xy và đưa về hệ
(0,5 đ)
Giải hệ trên đưa về
; (0,5 đ)
giải tìm được x và y (0,5 đ)

Bài 6(1 đ):Với a;b;c là các số dương thỏa


Chứng minh rằng:

Chứng minh và vận dụng được bất đẳng thức 2(x2 +y2)
(x+y)2. (0,5 đ)


2