De thi hsg khoi 8

đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi
Môn : Toán Lớp 8
Năm học : 2009 – 2010
Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1 : Giải phương trình : a)

b) 6x2 - x - 2 = 0
Câu 2 : Cho x + y + z = 0
Rút gọn :

Câu 3 : Chứng minh rằng không tồn tại x thỏa mãn :
2x4 - 10x2 + 17 = 0
x4 - x3 + 2x2 - x + 1 = 0
Câu 4 : Cho tam giác ABC, điểm D nằm trên cạnh BC sao cho
;
điểm O nằm trên đoạn AD sao cho
. Gọi K là giao điểm của BO và AC. Tính tỷ số AK : KC.
Câu 5 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trực tâm H. Một đường thẳng qua H cắt AB, AC thứ tự ở P và Q sao cho HP = HQ. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng tam giác MPQ cân tại M.


hướng dẫn giải
Câu 1 (Bạn đọc tự giải)
Câu 2:
Từ x + y + z = 0
x2 + y2 + z2 = - 2(xy + yz + zx) (1)
Ta có: (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = 2(x2 + y2 + z2 ) - 2(xy + yz + zx) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = - 6(xy + yz + zx) (3)
Thay (1) và (3) vào biểu thức A ta có:
A =

Câu 3:
a) 2x4 - 10x2 + 17 = 0
2( x4 - 5x2 +
) = 0
2(x4 - 2.
x2 +
)2 +
= 0

2(x2 -
)2 +
= 0
Vì 2(x2 -
)2 +
> 0 với mọi x nên không tồn tại x để 2x4 - 10x2 + 17 = 0
b) x4 - x3 + 2x2 - x + 1 = 0
(x2 + 1)(x2 - x + 1) = 0
Vì vế phải luôn dương với mọi x nên không tồn tại x để x4 - x3 + 2x2 - x + 1 = 0
Câu 4:
Từ D kẻ DM // BK
áp dụng định lí Talét vào
AOK ta có:

(1)
Tương tự, trong
CKB thì:
(2)
Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có:

Câu 5
Gọi giao điểm của AH và BC là I
Từ C kẻ CN // PQ (NAB),
Tứ giác CNPQ là hình thang, có H là trung điểm PQ, hai cạnh bên NP và CQ đồng quy tại A nên K là trung điểm CN MK là đường trung bình của BCN
MK // CN MK // AB (1)
H là trực tâm của ABC nên CHA B (2)
Từ (1) và (2) suy ra MK CH MK là đường cao củaCHK (3)
Từ AH BC MCHK MI là đường cao của CHK (4)
Từ (3) và (4) suy ra M là trực tâm của CHKMHCN MHPQ

MPQ có MH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên cân tại M