đề thi HSG HuyệnToán 9

UBND huyện quảng trạch
Phòng Giáo duc & Đào tạo
Đề thi chọn Học sinh giỏi
Năm học 2009 - 2010
Môn: Toán lớp 9
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)


Câu1 (1,0 điểm)
Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương
Câu 2 (2,0 điểm)
a) (1,0 điểm) Chứng minh rằng với ba số a, b, c bất kỳ ta có: a2 + b2 +c2
ab + bc + ca
b) (1,0 điểm) Tính giá trị biểu thức:
Câu 3. (2 điểm)
a) (1,0 điểm) minh:
b) (1,0 điểm) Cho đường thẳng y = ( m - 2)x + 2 (d). Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.

Câu 4 (1,5 điểm)
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác biết:
Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều
Câu 5: (1,75 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Điểm O thuộc miền trong của hình vuông thoả mãn
OB = 2.OA và

. Chứng minh : OC = OA + OB.
Câu 6: (1,75 điểm).
Cho tam giác ABC. Phân giác góc A BC D. K và M là hình D trên AB và AC
minh: AD vuông KM.
góc BAC
.S là giao KD và AC.
minh: KM=AD.sin

Hết

UBND huyện
Phòng GD & ĐT
Hướng dẫn chấm thi chọn Học sinh giỏi
Năm học 2009 - 2010
Môn: Toán lớp 9


Câu
Tổng điểm
Nội dung
Điểm

1
1
Tacó:




Vậy: n = 452 – 24 = 2001
0,25


0,25

0,25

0,25


2a
1
Xét a2 + b2 + c2 - (ab +bc + ca)


Vậy a2 + b2 + c2 ab +bc + ca
Dấu “=” xảy tra khi a=b=c
0,25

0,5

0,25


2b
1
A=
.
.
=
.
=

A =





0, 5


0,25


0,25


3a
1,5
Hai vế BĐT không âm nên bình phương hai vế ta có:
a2 + b2 +c2 + d2 +2

a2 +2ac + c2 + b2 + 2bd + d2



ac + bd (1)
Nếu ac + bd < 0 thì BĐT được c/m
Nếu ac + bd
0
(1)
( a2 + b2 )(c2 + d2)
a2c2 + b2d2 +2acbd

a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2
a2c2 + b2d2 +2acbd

a2d2 + b2c2 – 2abcd
0
(ad – bc)2
0
( luôn đúng)
Dấu “=” xẩy ra
ad = bc



0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25


3b
1
Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d đi qua điểm cố định
H (x0, y0) là:
y0= ( m-2)x0 + 2 với mọi m

mx0-(2x0+y0-2) = 0 với mọi m



x0=0; y0= 2
Vậy đường thẳng d luôn đi qua điểm cố định H (0; 2)
với mọi m

0,5




0,5


4























1,5
Ta