Đề thi HSG huyện - Toán 9

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN THI: TOÁN 9 (Thời gian làm bài 150 phút)

Bài 1(6điểm)
Cho P
a, Rút gọn P
b, Tính giá trị của P với x
c, Tìm giá trị lớn nhất của P

Bài 2 : (3đ) Giải phương trình sau :
( với m là tham số ).
Bài 3 : ( 2đ) Chứng minh rằng nếu a , b là các số dương thõa mãn :
Thì :
Bài 4 : (6đ) Cho đường tròn tâm (O) đường kính CD = 2R . Điểm M di động trên đoạn OC . Vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính MD . Gọi I là trung điểm của đoạn MC , đường thẳng qua I vuông góc với CD cắt (O) tại E và F . Đường thẳng ED cắt (O’) tại P .
Chứng minh 3 điểm P, M , F thẳng hàng.
Chứng minh IP là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
Tìm vị trí của M trên OC để diện tích tam giác IPO’ lớn nhất.
Bài 5 : (3đ) Tìm các số nguyên x, y ,z thỏa mãn :
6
















hướng dẫn chấm môn toán 9
Câu 1: (6 điểm)
Cho P
a, Rút gọn P (2 điểm)
Điều kiện để P có nghĩa là : x; yxy (0,5 đ)
Ta có :
P
(0,5đ)
=
(0,5đ)
(0,5đ)
b, Tính giá trị của P với x(1điểm)
Ta thấy xthoả mãn điều kiện x0 0.
Ta có : x4-21)2 (0,5đ)
Thay x vào P , ta có:
P= (0,5đ)

(0,5đ)

(0,25đ)
c, Tìm giá trị lớn nhất của P (2 điểm)
Với mọi x0, ta có:
(0,25đ)

x+1(0,5đ)
1( vì x+1>0) 0.
(0,25đ)
P
Vậy giá trị lớn nhất của P =1 0.


x=1 (0,5đ)

Bài 2 : (3 điểm).
Từ phương trình ta có:

1.
+ Nếu 0.
phương trình có vô số nghiệm. (0,5đ)
+ Nếu m 1;0;1 ; phương trình có nghiệm x= m-2003. (0,5đ)
Bài 3 : (2điểm). Từ 1/a +1/b+1/c =0 mà a, b là các số dương suy ra c là số âm và
ab+bc+ca = 0. (0,25đ)
Ta có :
(1.25đ)
0.

Bài 4 :(6điểm)
Do P thuộc (O’) mà MD là đường kính suy ra góc MPD vuông hay MP vuông góc với ED. Tương tự CE vuông góc với ED. Từ đó PM//EC. (1)
Vì EF là dây cung, CD là đường kính mà CD E F nên I là trung điểm của E F. Lại cóI là trung điểm của CM nên tứ giác CE M F là hình bình hành. Vậy FM//CE.(2). Từ (1) và (2) suy ra P, M , F thẳng hàng. (2đ)
Ta có EDC EFP (góc có cạnh tương ứng vuông góc). Do tam giác PO’D cân tại O’ nên