De Thi HSG Huyen Tam Duong

Phòng GD-ĐT Tam Dương


Kỳ thi chọn Học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán
Năm học: 2009-2010
Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)



Câu 1. (2 điểm)
Cho biểu thức: với
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm biết
Câu 2. (2,5 điểm)
a) Giải phương trình nghiệm nguyên:

b) Giải phương trình:
Câu 3.(1,5 điểm)
Cho là số nguyên dương. Biết rằng và là hai số chính phương. Chứng minh rằng chia hết cho 40.
Câu 4 .(1,5 điểm)
Cho các số không âm
thỏa mãn
Tìm giá trị lớn nhất của


Câu 5 .( 2,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH, trung tuyến BM và phân giác CD đồng quy.
Chứng minh
Tính tỉ số
----------------------- Hết ---------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Phòng GD-ĐT Tam Dương


hướng dẫn chấm
đề thi chọn Học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán
Năm học: 2009-2010


C Câu
Điểm toàn bài
Nội dung

thành

1
2 điểm
a) Trước hết ta có nhận xét: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ta có:
với mọi
Do đó

Bởi vậy
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) (Điều kiện

thỏa mãn ĐK)
0,25


0,25




0,5


0,25





0,25


0,5


2
2, 5 điểm
a) 1)
Vế trái của (1) là một số chính phương lẻ nên chia 8 dư 1 (*)
Xét vế phải của (1): chia hết cho 8 ;
chia hết cho 8 nếu chẵn , chia cho 8 dư 2 nếu lẻ vế phải chia cho 8 dư 5 hoặc 3 (**). Từ (*) và (**) suy ra phương trình (1) không có nghiệm nguyên hay phương trình đã cho vô nghiệm.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) Giải phương trình: (2)
+) Ta thấy thỏa mãn phương trình (2) nên là nghiệm của phương trình.
+) Xét và 0 nên phương trình (2) vô nghiệm.
+) Xét và 0 nên phương trình (2) vô nghiệm.
+ ) Xét
Bởi vậy Phương trình (2) vô nghiệm.
KL: Tập hợp nghiệm của phương trình là


0,5



0,5



0,25

0,25

0,25




0,5

0,25

3





1,5 điểm
Đặt Ta có: nếu là số chính phương thì chia hết cho 5 hoặc chia cho 5 dư 1 hoặc 4.
Nếu (mod 5) thì (mod 5) ( loại)
(mod 5) thì (mod 5) ( loại)
(mod 5) thì (mod 5) ( loại)
(mod 5) thì (mod 5) ( loại)
chia hết cho 5 (1)
lẻ chia cho 4 dư 1
b lẻ
Ta có: Do lẻ nên
hoặc chia cho 8 dư 4.
Nếu chia cho 8 dư 4chia cho 8 dư 5
( vô lý, vì một số chính phương lẻ chia cho 8 dư 1).
Vậy (2). Từ (1) và (2) suy ra chia hết cho