Đề thi HSG huyện môn Toán

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐOAN HÙNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016-2017
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài 90 phút không kể thời gian giao đề)
Đề có 01 trang


PHẦN TRẮC NGHIỆM TỰ LUẬN

Câu 1. (3điểm) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:




Câu 2. (3,5điểm) Giải phương trình.




Câu 3. (4điểm). Cho đường trong (O, R) và đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB.
a) Chứng minh rằng các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn.
b) Đoạn OM cắt đường tròn tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.
c) Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất.

Câu 4. (1,5 điểm) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:






Họ và tên thí sinh:…………………………………..........................................., SBD:…………………

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐOAN HÙNG
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2016-2017. MÔN: TOÁN

Câu
Nội dung
Điểm

1
(3điểm)
Câu 1. (3điểm) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:







Điều kiện:

0,25




0,25




0,25




0,25


Xét hai trường hợp:
Với x = 1 thì y =2.
Với
thì

1


Do đó:
. Do
nên có thể đặt x – 1 =
với t nguyên dương.
0,25


Ta có:

0,5


Kết luận: nghiệm của phương trình là: (1 ; 2), (
; 2t) với t là số nguyên dương tùy ý.
0,25

2
(3,5điểm)
Câu 2. (3,5điểm) Giải phương trình.







Ta có: x2 - 3x + 2 = (x - 1) (x - 2), x2 + 2x - 3 = (x - 1) (x + 3)
0,5


Điều kiện: x ≥ 2 (*)
1


Phương trình đã cho


0,25




0,25




0,25



(thoả mãn đk (*))
1


Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 2.
0,25


Câu 3. (4điểm). Cho đường trong (O, R) và đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB.
a) Chứng minh rằng các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn.
b) Đoạn OM cắt đường tròn tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.
c) Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất.









3
(4đ)
a
(1đ)
Vì H là trung điểm của AB nên
hay
.
0,5



Theo tính chất của tiếp tuyến ta lại có
hay
. Suy ra các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn.
0,5


b
(1,5đ)
Theo tính chất tiếp tuyến, ta có MC = MD ( (MCD cân tại M ( MI là một đường phân giác của
.
0,5



Mặt khác I là điểm chính giữa cung nhỏ
nên
sđ
=
sđ
=

0,5



( CI là phân giác của
. Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.

0,5


c
(1,5đ)
Ta có tam giác MPQ cân ở