ĐỀ THI HSG HOT

UBND HUYỆN CHÂU THÀNH
Phòng Giáo dục & Đào tạo
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 – 2009
Môn thi: TOÁN 9
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Đề số 1: (Học sinh không phải chép đề vào giấy thi)
Bài 1 (4 điểm):
Cho hai số nguyên dương a và b đều không chia hết cho 5 . Chứng minh rằng a4 – b4 5.
Bài 2 : (4 điểm)
Rút gọn :
Tính :
Bài 3 : (4 điểm)
Cho a > 2 ; b > 2 . Chứng minh rằng : ab > a + b
Bài 4 : (4 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
A =
Bài 5 : (4 điểm)
Cho điểm M nằm trong tam giác ABC nhọn . Chứng minh rằng :
4 SABC AM.BC + BM.CA + CM.AB

---*---


HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 - 2009
Môn thi : TOÁN 9
Đề số 1:
Bài 1 :
Ta có bài toán phụ sau : Chứng minh rằng : n4 – 1 5
Do : n4 – 1 = ( n2 – 1 ).( n2 + 1 )
n 5 n chia 5 dư 1 hoặc 2
Nếu n chia 5 dư 1 n2 chia 5 dư 1
n2 – 1 5
Do đó : n4 – 1 5
Nếu n chia 5 dư 2 n2 chia 5 dư 4
n2 + 1 5
Do đó : n4 – 1 5
Áp dụng cho bài toán trên :
Do : a4 – 1 5 và b4 – 1 5
Bài 2 :
a) Rút gọn :


b) Tính :

Bài 3 :

Bài 4 :



Bài 5 : Cho điểm M nằm trong tam giác ABC nhọn Chứng minh rằng :
4.SABC AM . BC + BM . CA + CM . AB

Kéo dài AM cắt cạnh BC tại A’
Vẽ BE AM tại E ( E AM )
CF AM tại F ( F AM )
Ta có : BE. AM BA’. AM (1)
CF. AM CA’. AM (2)

Lấy (1) + (2) vế theo vế

Ta được : BE. AM + CF. AM BA’. AM + CA’. AM
Hay : ( BE + CF ). AM AM ( BA’ + CA’)
Nên : ( BE + CF ). AM AM . BC
Do đó ta có tổng diện tích :
2 ( SABM + SACM ) BC. AM SABM + SACM BC. AM (*)
Tương tự ta chứng minh được : SABM + SCBM AC. BM (**)
SACM + SCBM AB. CM (***)
Cộng vế theo vế (*) , (**), (***) cho ta
2(SABM + SACM + SCBM) ( BC. AM + AC. BM + AB. CM )
2 . S ABC ( BC. AM + AC. BM + AB. CM )
4 . S ABC BC. AM + AC. BM + AB. CM ( ĐPCM)