ĐỀ thi HSG hay

phòng giáo dục và đào tạo cẩm khê
kỳ thi chọn học sinh giỏi các môn văn hoá lớp 9 cấp huyện
năm học 2012 - 2013

đề thi môn toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề


Câu 1: (4 điểm)
a. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì An = n(n+1)(n+2)(n+3)+ 1 là số chính phương.
b. Tìm các số nguyên x để x3 - 2x2 +9x - 9 chia hết cho x2 + 5

Câu 2: (4 điểm)
a. Tính giá trị của biểu thức A =
với

b. Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn:
.
Chứng minh rằng:

Câu 3: ( 3 điểm)
Giải phương trình:
.
Câu 4: (7 điểm)
Từ điểm P nằm ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với A và B là các tiếp điểm. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính BC của đường tròn.
a. Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm của AH.
b. Tính AH theo R và PO = d.
c. Đường thẳng a đi qua P sao cho khoảng cách từ O đến đường thẳng a bằng R
, đường thẳng vuông góc với PO tại O cắt tia PB tại M. Xác định vị trí của điểm P trên đường thẳng a để diện tích
POM đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 5: (2 điểm)
Cho ba số dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:




-Hết-



Họ và tên thí sinh:......................................................... Số báo danh:................
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
phòng giáo dục và đào tạo HUYỆN cẩm khê
kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện năm học 2012 - 2013

hướng dẫn chấm môn toán
ề chính thức, ngày thi 26 tháng 12 năm 2012)

I. Một số chú ý khi chấm:
- Hướng dẫn chấm dưới đây chỉ dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm giám khảo cần bám sát yêu cầu của đề bài, lời giải chi tiết của học sinh đảm bảo lôgic đúng kiến thức bộ môn.
- Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm
- Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần làm tròn đến 0, 25 điểm.

II. Đáp án và biểu điểm:
Đáp án
Điểm

Câu 1: (4 điểm)
a. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì An = n(n+1)(n+2)(n+3)+ 1 là số chính phương.
b. Tìm các số nguyên x để x3 - 2x2 +9x - 9 chia hết cho x2 + 5

a. Ta có:


Vậy An là số chính phương với


1

1


b. Đặt A = x3 - 2x2 +9x - 9 = x(x2 +5) - 2(x2 + 5) + 4x + 1
Do đó: A
(x2 +5)
(4x + 1)
(x2 + 5) (1)
Vì 4x
-1 và 4x
1, nên từ (1) suy ra (4x + 1)(4x - 1)
(x2 + 5)

(16x2 - 1)
(x2 + 5)
16(x2 + 5) - 81
(x2 + 5)
81
(x2 +5)
Vì x2 + 5
5 nên chỉ xảy ra một trong hai trường hợp sau:
. x2 + 5 = 81
x2 = 76 (không có giá trị x nguyên nào thoả mãn)
. x2 + 5 = 27
x2 = 22 (không có giá trị x nguyên nào thoả mãn)
x2 + 5 = 9
x2 = 4
x = 2 (t/m) hoặc x = -2 (không thoả mãn (1).
Vậy với x = 2 thoả mãn điều kiện bài toán.
0.5
0.25
0.25
0.5