Đề thi HSG Hà Nội 2004 - 2010

PHỤ LỤC


GIỚI THIỆU CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN – LỚP 9
THÀNH PHỐ HÀ NỘI

















ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ -LỚP 9
NĂM HỌC 2004 – 2005
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Câi 1 (4 điểm)
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà chữ số hàngđơn vị là 4?
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số thoả mãn có chữ số hàngđơn vị là 4 và chi hết cho 3?
Câu 2(4 điểm)
Cho a, b là các số thoả mãn 0𝐴
𝑎
2
𝑏
2
3−𝑎
2
4−𝑏
2

Câu 3(4 điểm)
Cho phương trình
𝑥
2−2𝑥
𝑥
2−2𝑥−2−𝑚+𝑚=0
với giá trị nào của m =1
5 là nghiệm của phương trìnhđã cho?
Tìm tất cả giá trị của m để phương trình trên có 4 nghiệm phân biệt và xácđịnh các nghiệmđó.
Câu 4(4 điểm)
Cho 53 số nguyên dương phân biệt có tổng không lớn hơn 2004. Chứng minh rằng luôn tìm được 6 số trong 53 sốđã cho thoả mãn: 6 ố này chia được thành 3 cặp số , mà mỗi cặp đều có tổng bằng 53.
Câu5 (4 điểm)
Cho tam giác vuông ABC
𝐴
90
𝑜). Nội tiếp trong đường tròn (O). M là mộtđiểm tuỳý thuộc đường tròn (𝑀≠𝐴,𝐵,𝐶). Gọi I là trung điểm củađoạn AM và h là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng CM . Hãy xácđịnh vị trí của M sao cho tam giác ACH có diện tích lớn nhất.
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ -LỚP 9
NĂM HỌC 2005 – 2006
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu1 (4 điểm)
Cho năm chữ số 1,3,5,7,9. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số phân biệt được thành lập từ năm chữ sốđã cho?
Chứng minh tồn tại số tự nhiên n khác không thoả mãn
13579
𝑛−1) chia hết cho
3
13579

Câu 2 (4 điểm)
Cho phương trình
𝑥
2−𝑚𝑥−4=0(x làẩn số)
chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
𝑥
1
𝑥
2 với mọi giá trị của m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
𝐴
2
𝑥
1
𝑥
2+7
𝑥
1
2+
𝑥
2
2

Tìm các giá trị của m sao cho hai nghiệm của phương trình đều là số nguyên
Câu3 (4 điểm)Giải phương trình

𝑥
2−1=3
3𝑥+1

Câu 4(4 điểm)
Trong mỗiô của bảng vuông 3x3 ta điền các dấu + hoặc - để được bảng như sau trong hình 1
+
-
+

-
+
-

-
+
+

+
-
+

+
-
-

-
+
+

Hình 1

Hình 2


Ta thực hiện phép biến đổi:
“Đổi ngược dấu của tất cả cácô trong cùng một dòng hoặc trong cùng một cột”.
Hỏi sau một số hữu hạn lầnáp dụng phép biến đổi trên ta có thể thu được bảng trong hình 2 không? Tại sao?
Câu5 (4 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=2 vàđiểm C làđiểm của cung AB. gọi M làđiểm tuỳý trên cung BC (M≠B,C). Kẻ dây BK song song với CM. Đường tròn đường kính MK cắt tia BM tạiđiểm thứ hai là S. xácđịnh vị trí củađiểm M sao cho khoảng cách từđiểm S đến AB là lớn nhất và tính khoảng cách lớn nhấtđó.


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ -LỚP 9
NĂM HỌC 2006 – 2007
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 (4 điểm)
Cho x, y là các số thỏa mãn x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biều thức
A = x3 + y3 + 2xy
Câu 2( 4 điểm)
a, Cho p là số tự nhiên khác 0. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình
x2 + 5px – 1 = 0
x3, x4 là hai nghiệm của phương trình
x2 + 4px – 1 = 0
Chứng minh rằng tích
(x1 – x3) (x2 – x3)(x1