De thi HSG chuyen Phan Bội Châu TP Vinh

Phan bội châu Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên
Năm học : 2006-2007 Môn thi : Toán ( Vòng 2)
Thời gian làm bài : 150 phút , không kể thời gian giao đề

Bài 1: (6đ) a) Giải phương trình :
b) Cho x,y,z là các số thực thoả mãn x+y+z=1 . Đặt a=x2-yz , b=y2-xz,
c=z2-xy Chứng minh : ax+by+cz=0
Bài 2: (5đ)
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x,y) thoả mãn : x2-(5+y)x+2+y=0
b) Cho 2006 số thực a1, a2,…, a2006 thoả mãn với n=1,2,…,2005
Đặt A. Tính phần nguyên của A
Bài 3: (2đ)
Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn
Chứng minh rằng : (y+z)4+(z+x)4<(x+y)4
Bài 4: (5 đ) Cho đường tròn tâm O, bán kính R và dây BC bé hơn 2R , các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại A. M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC và không trùng với B,C . Gọi H,I,K lần lượt là hình chiếu của M trên BC, CA,AB . MB cắt HK tại P. CM cắt HI tại Q.
a) Chứng minh: PQ//BC
b) Xác định vị trí của điểm M để tích MH.MI.MK đạt giá trị lớn nhất .
Bài 5: (2đ) Trong tam giác ABC có 3 góc nhọn ta lấy một điểm M bất kỳ . Chứng minh khoảng cách lớn nhất trong các khoảng cách từ M tới 3 đỉnh của tam giác không bé hơn 2 lần khoảng cách bé nhất trong các khoảng cách từ M tới 3 cạnh của tam giác đó.