De thi HSG cap tinh

Sở Gd&Đt Nghệ an
Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS
Năm học 2008 - 2009



hướng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang)
Môn: toán - bảng A
----------------------------------------------

Câu
Nội dung
Điểm

1

4,5

a/




2,5
Cho A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 với k ( Z
Vì k ( Z ( ta xét các trường hợp:
TH1: k chẵn ( A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 là một số lẻ
( A không chia hết cho 2
( A không chia hết cho 16 (loại) (1)


1,0



TH2: k lẻ, ta có:
A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 = (k2 - 1)(k2 + 2k - 15)
= (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5)
Do k lẻ ( k - 1; k + 1; k - 3; k + 5 đều chẵn
( A = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) 2.2.2.2 = 16 (thoả mãn) (2)
Từ (1) và (2) ( với ( k ( Z mà k lẻ thì A luôn chia hết cho 16
1,0



0,5

b/
Do tích a.b chẵn nên ta xét các trường hợp sau:







2,0
TH1: Trong 2 số a, b có 1 số chẵn và 1 số lẻ.
Không mất tính tổng quát, giả sử a chẵn, b lẻ
( a2 4; b2 chia cho 4 dư 1 ( a2 + b2 chia cho 4 dư 1
( a2 + b2 = 4m + 1 (m ( N)
Chọn c = 2m ( a2 + b2 + c2 = 4m2 + 4m + 1 = (2m + 1)2 (thoả mãn) (1)
1,0


TH2: Cả 2 số a, b cùng chẵn.
( a2 + b2 4 ( a2 + b2 = 4n (n ( N)
Chọn c = n - 1 ( a2 + b2 + c2 = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 (thoả mãn) (2)
Từ (1) và (2) suy ra ta luôn tìm c ( Z thoả mãn bài toán.
1,0

2

5,5






3,0/
Giải phương trình x2 - x - ĐKXĐ:
Khi đó phương trình ( x2 - x =
Đặt:
( 1 + 16x = 4y2 -4y + 1 ( 4y2 - 4y = 16x ( y2 - y = 4x (*)
(