De thi HSG cap huyen co dap an chi tiet

Phòng GD - ĐT Thạch Thất Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Trường THCS Bình Phú Môn Toán 9 Năm Học 2011-2012
GV ra đề: Khương Thị Minh Hảo Thời gian làm bài: 150 phút


Bài 1 (5 điểm):
Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tính giá trị của A khi x =
c) Chứng minh rằng: A ≤
Bài 2 (3 điểm):
a) Cho ba số a, b, c dương thỏa mãn
Chứng minh rằng : abc <
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 3 (3 điểm):
a) Chứng minh nếu với
thì
b) Giải phương trình:
Bài 4 (3 điểm):
Đội A và đội B thi đấu cờ với nhau. Mỗi đấu thủ của đội A phải đấu một ván cờ với mỗi đấu thủ của đội B. Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng bình phương số đấu thủ của đội A cộng với hai lần số đấu thủ của đội B. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu đấu thủ biết rằng số đấu thủ của đội A không ít hơn 5 người?
Bài 5 (6 điểm):
Cho hình vuông ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB. Gọi E là giao điểm của CN và DA. Kẻ tia Cx vuông góc với CE cắt AB tại F, M là trung điểm của đoạn thẳng EF.
1. Chứng minh rằng:
a) CE = CF
b)
c) Khi điểm N di chuyển trên cạnh AB ( N không trùng với A và B) thì M chuyển động trên một đường thẳng cố định.
2. Đặt BN = x
a) Tính diện tích tứ giác ACFE theo a và x.
b) Xác định vị trí của điểm N trên cạnh AB sao cho diện tích tứ giác ACFE gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD.
Đáp án – Biểu điểm
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Môn Toán 9 Năm Học 2011-2012

1 (5 điểm)
a) ĐKXĐ: x ≥ 0 ; x ≠ 1 (0,5 điểm)

(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
b) x = (0,5 điểm)
(0,75 điểm)
c) Xét hiệu: (0,5 điểm)
Ta có: 0 và 0, (x ≥ 0; x ≠ 1
(0,75 điểm)
Bài 2: (3 điểm)
a) Từ (0,5 điểm)
Do a, b, c dương, áp dụng BĐT Cô-si ta có:
(0,25 điểm)

Đặt t > 0 ( abc =
(*)

(do 0, (t > 0)
(0,75 điểm)

b) Với điều kiện ta có:
M = (0,25 điểm)
áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm 1 và x - 1, ta có:
(vì (0,25 điểm)
Chứng minh tương tự ta có:
(vì (0,25 điểm)
( M = (0,25 điểm)
Vậy Max M = x = 2, y = 8 (0,5 điểm)
Bài 3 (3 điểm