De thi hsg cap huyen

Sở giáo dục và đào tạo Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS
Tỉnh ninh bình năm học 2007 - 2008
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm 01 trang

Câu 1 ( 4,0 điểm)
Cho các số dương: a; b và x Xét biểu thức P =
Chứng minh P xác định. Rút gọn P.
Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Câu 2 (3,0 điểm)
Tìm x; y; z thoả mãn hệ sau:

Câu 3 ( 4,0 điểm)
Với mỗi số nguyên dương n ≤ 2008, đặt Sn = an +bn , với a b
Chứng minh rằng với n ≥ 1, ta có Sn + 2 = (a + b)( an + 1 + bn + 1) – ab(an + bn)
Chứng minh rằng với mọi n thoả mãn điều kiện đề bài, Sn là số nguyên.
Chứng minh Sn – 2 = Tìm tất cả các số n để Sn – 2 là số chính phương.
Câu 4 (7,0 điểm)
Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE < BE. Vẽ đường tròn (O1) đường kính AE và đường tròn (O2) đường kính BE. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài MN của hai đường tròn trên, với M là tiếp điểm thuộc (O1) và N là tiếp điểm thuộc (O2).
Gọi F là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng đường thẳng EF vuông góc với đường thẳng AB.
Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, vẽ đường tròn (O) đường kính AB. Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) ở C và D, sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD. Tính độ dài đoạn thẳng CD.
Câu 5 ( 2,0 điểm)
Để lựa chọn học sinh khối lớp 9 có điểm tổng kết cao nhất các bộ môn để tham dự kiểm tra đánh giá chất lượng học kỳ I năm học 2007-2008, với tổng số 99 học sinh được các thày giáo, cô giáo lập danh sách đề nghị chọn kiểm tra đã có: 50 học sinh giỏi Toán; 45 học sinh giỏi Ngữ văn; 48 học sinh giỏi Tiếng Anh; 25 học sinh giỏi cả Toán và Ngữ văn; 22 học sinh giỏi cả Toán và Tiếng Anh; 15 học sinh giỏi cả Ngữ văn và Tiếng Anh; 6 học sinh không giỏi bất cứ môn nào trong các môn trên. Hãy tính số học sinh giỏi cả 3 môn Toán, Ngữ văn và Tiếng Anh.

------------- Hết-------------
Họ và tên thí sinh :.............................................. Số báo danh .......................
Chữ kí giám thị 1 …………………… Chữ kí giám thị 2 ………………………
hướng dẫn chấm thi môn toán
kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2007-2008

Câu 1. (4,0 điểm)

Tóm tắt lời giải
Điểm

(2,75 điểm)
Ta có: a; b; x > 0 a + x > 0 (1)
Xét a – x (2)
Ta có a + x > a – x ≥ 0 (3)
Từ (1); (2); (3) P xác định
Rút gọn:
Ta có: a + x
a - x
P =
Nếu 0 < b < 1 P
Nếu bP =
2. (1,25 điểm)
Xét 2 trường hợp:
Nếu 0 < b < 1, a dương tuỳ ý thì P P
Nếu ba d