De thi HSG 9 ( Tham khao)

trường THcs
Đề thi học sinh giỏi lớp 9.
Thời gian:150 phút.

Câu 1:
Cho biểu thức:
A =
Tìm các số x, y, z nguyên dương sao cho A đạt giá trị dương nhỏ nhất.
Câu 2:
Giải phương trình: x2 +4x +5 = 2
Câu 3:
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình:
x(2m + 6)x + 4m + 12 = 0
có 2 nghiệm số và cả hai nghiệm đó đều lớn hơn -1.
Câu 4:
Cho a, b, c >0 và
Chứng minh:
Câu 5:
Cho tam giác ABC vuông ở B, nội tiếp trong đường tròn tâm O trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho AD =3AB. Đường thẳng qua D vuông góc với CD cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn tâm O tại E. Xác định dạng của tam giác DEB.















đáp án:
Câu1.
Ta có: A = 0 t giá trị dương lớn nhất và nhỏ hơn Dễ thấy x=3 suy ra : hay:
và
đạt giá trị dương lớn nhất. Dễ thấy y = 4 suy ra:
hay:
và
đạt giá trị dương nhỏ nhất. Suy ra z = 43.
Vậy các số (x, y, z ) phải tìm là: (3; 7; 43).
Câu 2.
Ta viết phương trình đã cho dưới dạng: 4x2 +16x +20 = 8(1);
hay: (2x+3)2 + 2(2x+3) +5 = 8
Đặt: t = 0 ta có PT:
t4+2t2 -8t +5 =0 t-1)2(t2 +2t +5) = 0 t = 1 (thoả mãn điều kiện của t),
suy ra 1x= -1.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = -1.
Câu 3.
Để PT có nghiệm cần có điều kiện: ` 0 m+1)(m-3) 0 (1)
Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình, ta có: 2)
Kết hợp (1) và (2) ta có:
Câu 4.
Xét BĐT: (1). Từ giả thiết ta có:
b = suy ra
(1)
6ac(a-c)2 0 luôn luôn đúng với mọi a, c. Vậy bất đẳng thức đã cho luôn đúng.
Câu 5.
Góc EAC= góc EDC=90Tứ giác EACD nội tiếp
trong đường tròn tâm I,(I là trung điểm EC).
Kẻ EKBK (KBD)
IHBD (HBD)
IH // BC// EK ( vì cùng BD) H là trung điểm
I là trung điểm EC BK (1).
Trong (1): IH AD H là trung điểm AD (2).
Từ (1) và (2) suy ra: AB =DK
mà: AD =3 AB
Do đó: BK = DK
mà: EK BD
Vậy EBD cân tại E.