đề thi hsg 9 có hưỡng dẫn chấm hay lắm

PHÒNG GD-ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU
VĨNH LINH MÔN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian 120 phút (không kể giao đề)


Bài 1 (1,5 đ):
Tổng các số của một số có ba chữ số bằng 7. Chứng minh rằng: Số ấy chia hết cho 7 khi và chỉ khi chữ số hàng đơn vị và chữ số hàng chục bằng nhau.

Bài 2 (2,0 điểm):
Cho
.
So sánh A với 1,999

Bài 3 (2,0 điểm):
Giải phương trình:


Bài 4 (1,50 điểm):
Cho các số x, y thỏa mãn đẳng thức: 3x – 4y = 7. Tìm x và y để biểu thức:
A = 3x2 + 4y2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 5 (3,0 điểm):
Cho hình thang vuông ABCD (AB // CD), có
Gọi H là hình chiếu của D trên AC, M là trung điểm của HC. Tính
?





















HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài 1 (2,0 đ Tổng các số của một số có ba chữ số bằng 7. Chứng minh rằng: Số ấy chia hết cho 7 khi và chỉ khi chữ số hàng đơn vị và chữ số hàng chục bằng nhau.

Gọi số có ba chữ số đó là
(0,125 đ)
* Chứng minh ĐK cần: Cho
ta chứng minh b = c
Ta có:
(0,25 đ)
= BS7 + 2a + 2b + 2c + b – c = BS 7 + 2(a + b + c) + (b – c) (0,25 đ) = BS 7 + BS 7 + (b – c) = BS 7 + (b – c) (0,125 đ)
Từ giả thiết
=> (b – c)
(0,125 đ)
Mà b, c là các số có một chữ số và a + b + c = 7 => b – c = 0 hay b = c (0,125 đ)
* Chứng minh ĐK đủ: Cho b = c ta chứng minh

Ta có
(0,25 đ)
= BS7 + 2a + 2b + 2c + b – c = BS 7 + 2(a + b + c) + (b – c) (0,25 đ) = BS 7 + BS 7 + (b – c) = BS 7 + (b – c) (0,25 đ)
= BS 7 (0,125 đ)
Hay
(0,125 đ)

Bài 2 (1,75 điểm): Cho
.
So sánh A với 1,999.

Với các số a >0, b > 0 và a
b ta có:

(0,25 đ)

(0,25 đ)
Áp dụng BĐT (*) ta có:










Cộng theo vế ta được:

(0,25 đ)

(0,25 đ)

Vậy A > 1, 999 (0,25 đ)

Bài 3 (1,75 điểm):

ĐK:
(0,125 đ)

(0,125 đ)

(*) (0,125 đ)
ĐK:
(0,125 đ)
(*)
(0,125 đ)
(0,125 đ)
(0,125 đ)
ĐK:
(0,125 đ)
(*)
(0,125 đ)

(0,125 đ)
ĐK: