De thi hsg 9

PHÒNG GD-ĐT CAM LỘ

ĐỀ THI HOC SINH GIỎI VĂN HOÁ LỚP 9
NĂM HỌC 2009-2010
MÔN :TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 1: (2điểm): Cho biểu thức
P =
với x> 0 và x ≠ 1.
a) Rút gọn biểu thức P;
b) Chứng minh rằng 0 < P < 2.
Câu 2:(1 điểm) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC thoả mãn điều kiện: (a+b)(b+c)(c+a)=8abc
Chứng minh rằng tam giác ABC đều

Câu 3:(3 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a2-2ab+3b2-2a+2009,5

b) Chứng minh với mọi số dương x, y ta đều có:


Câu 4:(1 điểm) Tìm bộ số thực (x; y) thoả mãn điều kiện sau:




Câu 5:(3 điểm)
Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC. Đường trung trực của cạnh BC cắt đường trung trực của cạnh AC tại O, H là trực tâm, G là trọng tâm của tam giác.
a) Chứng minh (ABH
(MNO
b) Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng.






PHÒNG GD-ĐT CAM LỘ

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HOC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
NĂM HỌC 2009-2010
Bài 1: (2điểm) a) P =

=
(0,5đ)
=
(0,5đ)
=
=
(0,5đ)
b) Vì x > 0 nên
> 1. Suy ra 0 < P =
< 2 (0,5đ)

Bài 2: (1đ)
T.có: (a+b)(b+c)(c+a)=8abc

(a+b)(b+c)(c+a)-8abc=0

a(b-c)2+b(c-a)2+c(a-b)2=0 0,5 đ
Do a,b,c độ dài 3 cạnh của tam giác nên a,b,c là các số dương,ta suy ra:
(b-c)2=(c-a)2=(a-b)2=0
a=b=c 0,5 đ
Vậy tam giác ABC đều
Bài 3: (3 đ)
(1,5đ)
P=(a-b-1)2+2(b-
)2+2008 (0,5đ)

P
vì (a-b-1)2
0 và(b-
)2
0 với moi a,b (0,5đ)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2008 khi và chỉ khi a=
,b=
(0,5đ)
b) (1,5 đ)
Xét hiệu: P=

Đặt t=


t2-2
Thay vào P ta có:
P=t2-t-2=(t+1)(t-2) (0,25đ)
Do x,y là hai số dương nên
cùng dưong. Do đó
(0,5đ)
Suy ra: t-2
;t+1
0,25đ
Suy ra: P=(t+1)(t-2)
với mọi x,y là số dưong. (0,5đ)
Do đó:
(0,25đ)
Bài 4 ( 1đ)
Đ/k: x
2009, y
2010 (0,25đ)
Biến đổi phương trình trên tương đương với phương trình:

(0,25đ)
Suy ra:
(0,25đ)
Suy ra:

Vậy bộ số thực (x;y)=(2010;2011) (0,25đ)
Bài 5: (3 điểm)
a) Ta có: OM // AH, ON // BH, MN // AB. (0,25đ)
=>
và
(0,5đ)
( Hai góc có cạnh tương ứng song song)
Vậy (ABH
(MNO (g-