DE THI HSG 9

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2007 - 2008
MÔN: TOÁN
THỜI GIAN: 180 PHÚT

Bài 1 (5 điểm): Cho biểu thức:
P(x) =

Rút gọn biểu thức P(x).
Tính giá trị của x để P(x) =
.
Chứng minh rằng P(x)

với mọi x ≠ 1 và x 0
Bài 2 (5 điểm):
Cho phương trình có ẩn x (m là tham số): x – mx + m – 1 = 0
Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1, x2 vớim. Tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình và giá trị của m tương ứng.
Đặt
Chứng minh B = m2 – 8m + 8
Tính giá trị nhỏ nhất của B và giá trị của m tương ứng.
Bài 3 (4 điểm):
tính giá trị của biểu thức: M = x + y, biết:
giải hệ phương trình:
Bài 4 (3 điểm):
Cho đường tròn tâm O, dây AB < 2R. Gọi C là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Kẻ hai dây CD và CE cắt dây AB lần lượt tại hai điểm M và N. Chứng minh rằng:
Tứ giác DENM nội tiếp.
Cho AN = BM. Chứng tỏ rằng tứ giác DENM là hình thang.
Bài 5(3 điểm):
Cho tam giác nhọn ABC. Lấy điểm E AB, điểm DAC. Kẻ DF // CE (F AB), kẻ EM // BD (MAC). Chứng minh rằng: FM // BC.




ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

Bài 1 (5 điểm):
ĐKXĐ: x 0, x1 0,25 đ
a) P(x) = 0,25 đ
= 0,25 đ
= 0,25 đ
= 0,25 đ
= 0,25 đ
b) Để P(x) =  thì =  0,25 đ
( 0,25 đ
( -10 -  = 3 – 4
( -11 = -1 0,25 đ ( x =  0,25 đ
Vậy khi x =  thì P(x) = 
c) Để P(x)  thì 0,25 đ
( 0,25 đ
( 0,50 đ
( 0,25 đ
Do x 0 và x 1 nên 3+ 3) > 0 0,50 đ
=> -169 0,25 đ
Vậy x 1 và x 0 0,25 đ

Bài 2 (5 điểm):
Phương trình: x – mx + m – 1 = 0 (*)
1. = (–m)2 – 4.1.(m – 1) = m2 – 4m + 4 0,50 đ
= (m – 2)2 0 0,25 đ
Vậy (*) luôn luôn có nghiệm x1, x2 m 0,25 đ
* phương trình đã cho có nghiệm kép 0,25 đ
(m – 2)2 = 0 m = 2 0,25 đ
Nghiệm kép: x1 = x2 = 0,25 đ
2. a) Ta có:
0,50 đ
(1) 0,25 đ
Theo định lí Vi–ét thì:
(2)