đề thi hsg 9

PHÒNG GD-ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU
VĨNH LINH MÔN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian 120 phút (không kể giao đề)


Bài 1 (2,0 đ):
Tìm hai số nguyên dương x và y sao cho tổng của mỗi số với 1 thì chia hết cho số kia.

Bài 2 (1,75 điểm):
Giải phương trình:


Bài 3 (1,75 điểm):
Cho a, b, c là các số lớn hơn 0. Chứng minh rằng:


Bài 4 (1,50 điểm): Cho x > 0, y > 0. Chứng minh rằng:


Bài 5 (3,0 điểm):

Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC. Gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm của CD. Tính góc BMK ?




















HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài 1 (2,0 đ): Tìm hai số nguyên dương x và y sao cho tổng của mỗi số với 1 thì chia hết cho số kia.

Theo giả thiết ta có:
(0,125 đ)
Do đó ta có:
(0,125 đ)

(0,125 đ)

(0,125 đ)

(n
) (*) (0,125 đ)

(1) (0,125 đ)
Giả sử

Do đó:
(0,125 đ)
Hay:
(2) (0,125 đ)
Từ (1) và (2) ta suy ra:
(0,125 đ)
Vậy y = 1; 2; 3 (0,125 đ)
+ Với y = 1, thay vào (*) ta có x + 2 = nx
(0,125 đ)
Do đó: x = 1; 2 (0,125 đ)
+ Với y = 2, thay vào (*) ta có x + 3 = 2nx
(0,125 đ)
Ta có x
(0,125 đ)
+ Với y = 3 => x > 3 =>
(0,125 đ)
Vậy bộ các số nguyên dương x, y là:(1;1); (1;2); (2;1); (3;2); (2;3) (0,125 đ)

Bài 2 (1,75 điểm):
Giải phương trình:

Ta có: *
(0,125 đ)

(0,125 đ)
*
(0125 đ)

(0,125 đ)
Phương trình đã cho trở thành:
(0,25 đ)

(0,25 đ)

(0,50 đ)
Vậy nghiệm của PT đã cho là:
(0,25 đ)

Bài 3 (1,75 điểm): Cho a, b, c là các số lớn hơn 0. Chứng minh rằng:


Để giải quyết bài toán trên, ta giải quyết bài toán sau: Cho a, b, c là các số lớn hơn 0. Chứng minh rằng:

Tacó:

(0,25 đ)

(0,125 đ)

(0,25 đ)

(0,125 đ)

(0,125 đ)
=
(0,125 đ)
=
(0,125 đ)
Vì


;
;
(0,125 đ)
Nên: =
(0,125 đ)
Suy ra
(0,125 đ)
Hay
(0,25 đ)

Bài 4 (1,50 điểm): Cho x > 0, y