đề thi hsg

đề thi học sinh giỏi cấp trường lần 1
năm học 2009 - 2010
Thời gian là bài 150 phút ( Không kể thời gian giao đề )
Bài 1 (3 điểm)
Cho các biểu thức:
P =
Q = x4 – 7x2 + 15
( với x> 0, x1)
a)Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x để Q – 4P đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 2 ( 2 điểm)
Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
Bài 3 ( 2 điểm)
Cho a, b, c là các số thực khác 0 thoả mãn:
a + 2b – 3c = 0
bc + 2ac – 3bc = 0
Chứng minh rằng : a = b = c
Bài 4 ( 2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (x – 1)4 + (x – 3)4 + 6(x – 1)2(x-3)2
Bài 5 ( 3 điểm)
Tìm x, y nguyên thoả mãn:
a) y2 = x(x+1)(x+ 7)(x+8)
b) x2 – 6xy + 13y2 = 100
Bài 6 ( 8 điểm)
Cho nửa (O, R ) đường kính AB. Từ A và B vẽ 2 tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M di động trên nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ 3 cắt Ax và By lần lượt tại C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.
Chứng minh:
OCOD
MN//AC
Đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB
Xác định vị trí của M để:
AC + BD đạt giá trị nhỏ nhất
SABDC đạt giá trị nhỏ nhất
MA cắt OC tại E, MB cắt OD tại F. Chứng minh trung điểm I của EF thuộc một đường cố định
MN cắt AB tại J. Chứng minh MN = NJ