Đề thi HSG

UBND HUYỆN KIẾN THỤY TRƯỜNG THCS NGŨ ĐOAN



ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 1
MÔN: TOÁN 9
NĂM HỌC 2017-2018
Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (2điểm)
1.1 Cho biểu thức
với x;y>0
a) Rút gọn A
b) Biết xy = 16. Tìm GTNN của A
1.2 Cho
.
Tính giá trị của biểu thức
.
.Bài 2 :(2điểm)
2.1. Cho các hàm số bậc nhất:
,
và
có đồ thị lần lượt là các đường thẳng (d1), (d2) và ((m). Với những giá trị nào của tham số m để;
a) Đường thẳng ((m) cắt hai đường thẳng (d1) tại điểm có hoành độ âm ?
b) Đường thẳng ((m) cắt hai đường thẳng (d2) tại điểm có tung độ dương?
2.1. Cho ba đường thẳng:
x + y = 1 (d1); x - 2y = 4 (d2); (k+1)x + (k-1)y = k + 1 (d3); ( với k ≠1)
a) Tìm m để ba đường thẳng (d1); (d2); (d3) đồng quy.
b) Chứng minh rằng khi k thay đổi thì đường thẳng (d3) luôn đi qua một điểm cố định trong mặt phẳng Oxy.
2.2.Giải phương trình sau :

Bài 3: (2 điểm)
3.1.Cho
. Chứng minh rằng A là số chính phương nhưng không là lập phương của một số tự nhiên.
3.2. Chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với



Bài 4: (3 điểm)
Gọi O là tâm đường trong ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại M; CM cắt AH tại I, OM cắt AB tại J.
4.1 Chứng minh I là trung điểm của AH.
4.2 Cho BC = 2R, OM = x. Tính AB, AH theo R và x.
4.3 Tính giá trị lớn nhất của AH khi x thay đổi.
Bài 5: (1 điểm)
Cho đa giác đều 36 đỉnh.Có bao nhiêu hình chữ nhật có 4 đỉnh đều là đỉnh của đa giác đều trên?

.......................Hết..................

UBND HUYỆN KIẾN THỤY TRƯỜNG THCS NGŨ ĐOAN

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do - Hạnh phúc


ĐÁP ÁNTHI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 1
MÔN: TOÁN 9
NĂM HỌC 2017-2018
Bài
Đáp án
Biểu điểm

Bài 1
1.1
a) Rút gọn được

b) C/m


Vậy Amin= 1 khi x = y = 4
1.2
Tính được
= 0

0,75





0,75


0,5

Bài 2
2.1
Điều kiện để ((m) là đồ thị hàm số bậc nhất là

a) Phương trình hoành độ giao điểm của (d1) và ((m) là:

(

Điều kiên để phương trình này có nghiệm âm là

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d2) và ((m) là:

(

Với m = -1 PT vô nghiệm
Với m ≠ -1; ta có:


Vậy điều kiện cần tìm là: m > 0 hoặc m < -1
2.2
Giải phương trình sau :
Được x = 2




0,75






0,75

0,5


Bài 3
3.1
Có





Vì

Suy ra A là số chính phương.
Lại có


nhưng A không chia hết cho 8 vì
là số lẻ.
Vậy A không là lập phương của một số.
3.2

(1)
Đặt
. Dễ dàng chứng minh
nên a2 ≥ 4, do đó
| a | ≥ 2
hoặc
(1).
Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với :
a2 – 2 + 4 ≥ 3a
( a2 – 3a + 2 ≥ 0 ( (a – 1)(a – 2) ≥0 (2)
Từ (1) suy ra a ≥ 2 hoặc a ≤ -2.
Nếu a ≥ 2 thì (2) đúng.
Nếu a ≤ -2 thì (2) cũng đúng.
Bài toán được chứng minh.
Dấu "=" xảy ra




0,25

0,5