đề thi hsg

TRƯỜNG THCS DANH THẮNG
ĐỀ THI KHẢ SAT HỌC SINH GIỎI LẦN 2
Môn: Toán 8
Thời gian: 120 phút

Câu 1
1. Chứng minh rằng
chia hết cho 105 với mọi số nguyên x
2. Cho các số a, b, c, d nguyên dương đôi một khác nhau và thoả mãn:

. Chứng minh A = abcd là số chính phương
3. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình


4. Cho a, b là các số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5. Chứng minh rằng: a2 + b2
1 + ab
5.


6.



Đáp án



2)
a)


















(vì b ≠ d)
Vậy A = abcd = (ac)2 là số chính phương







0,25


0,25



0,25

0,25

0,25

0,25

0,25
0,25

3.
+) Với a, b, c, d dương, ta có


(theo bất đẳng thức
)
+) Mặc khác:

Suy ra
và đẳng thức xảy ra ( a = c; b = d
+) Áp dụng với a = 2016, b = x, c = y, d = 2015 ta có:


Đẳng thức xảy ra ( y = 2016; x = 2015






0,5





0,25
0,25

4.
Với 2 số a, b dương:
Xét:

a2 + b2 – ab
1

(a + b)(a2 + b2 – ab)
(a + b) ( vì a + b > 0)

a3 + b3
a + b

(a3 + b3)(a3 + b3)
(a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5 )

a6 + 2a3b3 + b6
a6 + ab5 + a5b + b6

2a3b3
ab5 + a5b

ab(a4 – 2a2b2 + b4)
0

đúng
a, b > 0 .
Vậy:
với a, b dương và a3 + b3 = a5 + b5

0,5


0,5


0,25

0,25

5.

6.


7.