DE THI HSG 2016 - 2017

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 -2017
mÔN: TOÁN 9
(Thời gian làm bài 120 phút)


Bài 1 (4,0 điểm)
1. Cho biểu thức
.
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A =
.
2. Chứng minh rằng: Nếu
thì

Bài 2 (4,0 điểm)
1. Cho hệ phương trình

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y) thỏa mãn x + 5y = 0.
2. Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn:

là số hữu tỉ và a2 + b2 + c2 là số nguyên tố
Bài 3 (4,0 điểm)
1. Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx + m + 1 (m là tham số)
a) Tìm m để đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
b) Trên parabol (P) lấy 3 điểm phân biệt: A(a, a2), B(b, b2), C(c, c2).
Biết rằng a2 – b = b2 – c = c2 – a.
Tính giá trị của biểu thức: M = (a + b + 1)(b + c + 1)(c + a + 1).
2. Giải phương trình:

Bài 4 (6,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh CD lấy điểm M khác C và D. Đường tròn đường kính AM cắt cạnh AB tại điểm N khác A. Đường tròn đường kính CD cắt đường tròn đường kính AM tại E khác D.
a) Chứng minh rằng ba điểm C, E, N thẳng hàng.
b) Gọi giao điểm của đoạn thẳng MN với DE là H, đoạn thẳng NM cắt đường tròn đường kính CD tại K. Chứng minh rằng MK2 = MH.MN.
c) Gọi F là giao điểm của DE với cạnh BC. Chứng minh rằng MF
AC.
Bài 5 (2,0 điểm)
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện:
.
Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm.


Họ và tên thí sinh: .................................................. Số báo danh: ....................Phòng.............
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 9
BÀI
Ý
NỘI DUNG
ĐIỂM

1
(4đ)

a
ĐKXĐ:

0.5





0.5







0.5+0.5


b
A =



0.25





0.25





0.25




x = 4 (tmđkxđ)
0.25


c
Đặt

0.25



Ta có:

Bình phương hai vế được:


0.25



Biến đổi ta được:

0.25




hay
(đpcm)
0.25

2

(4đ)
a


0.5





0.5



Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất
m
0
0.5



Với m khác 0 hpt có nghiệm duy nhất

0.5



Để x + 5y = 0 thì m2 + 1 + 5(m + 1) = 0
m = –2, m = –3
0.5


b
Đặt
(x, y
Z, xy ( 0)
ay – bx = (by – cx)
(*)
0.25



Vì a, b, c, x, y
Z
ay – bx
Z
(by – cx)

Z
Mà

I nên từ (*)

0.25




acxy = b2xy
ac = b2 (vì xy ≠ 0)
0.25



a2 + b2 + c2 = (a + c)2 – 2ac + b2 = (a + c)2 – b2 = (a+c – b)(a+c+b)
0.25



Vì a2 + b2 + c2 là số nguyên tố và a+c – b
a+b – c = 1
a + b + c = a2 + b2 + c2 (1)
Mà a, b, c nguyên dương nên a
a2, b
b2, c
c2 (2)
0.25



Từ (1)