đề thi HSG 2012 - 2013

PHÒNG GD&ĐT QUỲNH LƯU THI CHỌN ĐỘI SƠ TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
Năm học 2012 – 2013
Môn: Toán – Thời gian làm bài: 120 phút


Câu 1: (2 điểm)
Cho 2 số thực x, y thỏa mãn
và
.
Tính giá tri biểu thức

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n2 + n + 1 không chia hết cho 9.

Câu 2: (3 điểm)
Tìm các cặp số nguyên (x,y) sao cho: x(x + 1) = y2 + 1.
Giải phương trình: x4 – x3 – x + 1 = 0.
Giải phương trình:


Câu 3: ( 2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x4 – 4x + 2012.
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn

Chứng minh rằng:
.

Câu 4: (1 điểm)
Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.
Chứng minh rằng:
.

Câu 5: (2 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC, P là một điểm trên cạnh AC ( P khác A và C); kẻ AN vuông góc với BP ( N thuộc đoạn BP). Trên BN lấy điểm I sao cho BI = AN.
Chứng minh rằng: Tam giác IMN vuông cân.
Cho SABC = 4SIMN. Tính góc ABP.


------Hết------