De thi HSG 2011-2012

Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9
(Thời gian làm bài: 150’)

Câu 1: Cho biểu thức.
(x +
Hãy tính tổng: S = x + y
Câu 2: Trong các cặp số thực (x;y) thoả mãn:
Hãy tìm cặp số có tổng x+2y lớn nhất.
Câu 3:
Tìm các số nguyên dương n sao cho x = 2n + 2003 và y = 3n + 2005 đều là những số chính phương.
Câu 4: Cho hai đường tròn (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm T. Hai đường tròn này nằm trong đường tròn (C3) và tiếp xúc với (C3) tương ứng tại M và N. Tiếp tuyến chung tại T của (C1) và (C2) cắt (C3) tại P. PM cắt đường tròn (C1) tại diểm thứ hai A và MN cắt (C1) tại điểm thứ hai B. PN cắt đường tròn (C2) tại điểm thứ hai D và MN cắt (C2) tại điểm thứ hai C.
a. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh rằng AB, CD và PT đồng quy.
Câu 5: Giải phương trình.
x2 + 3x + 1 = (x+3















Đáp án Đề số 2

Câu 1: (2 điểm) Ta có:


Vậy
(*)
Nếu x = 0 => y = 0 => S = 0
Nếu x ( 0 => y ( 0 từ (*) => => xy < 0
Vậy => 2006x2 = 2006y2 => x2 = y2
=> (x-y)(x+y) = 0
mà xy < 0 => x - y ( 0
Câu 2: (2 điểm )
Đặt S = x +2y => x = S - 2y
Xét 2 trường hợp:
a. x2+y2 > 1 từ giả thiết => x2 + y2 < x + y <=> (S - 2y)2 + y2 < S - y
=> 5y2 - (4S - 1)y + S2 - S < 0 (1)
Xem (1) là bất phương trình bậc 2 đối với ẩn y
=> ( = (4S -1)2 - 20 (S2 - S) > 0 => 4S2 - 12S - 1 < 0 => S <
Đẳng thức xảy ra khi x = thoả mãn x2 + y2 > 1
Vậy S max =
b. Nếu x2 + y2 < 1 thì x + y < x2 + y2.
=> S = x + 2y < x2 + y2 + y < 1 + 1 = 2 => S <
Vậy S lớn nhất là khi x = và y =
Câu 3: (2 điểm)
Giả sử 2n + 2003 = a2 và 3n + 2005 = b2 (a, b nguyên dương).
Khi đó 3a2 - 2b2 = 1999 (1) => a lẻ.
Đặt a = 2a1 + 1(a1 ( Z) => 2b2 = 3.4a1 (a1+1) - 1996
= 3.4a1 (a1+1) - 2000 + 4
=> b2 ( 2 ( mod 4) vô lý. Vậy không tồn tại số nguyên dương thoả mãn.
Câu 4: (2 điểm)
a. Gọi O1, O2, O3 tương ứng là tâm các
đường tròn (C1), (C2), (C3) ta có M, O1, O3
thẳng hàng => BO1 // NO3
= > Tương tự:
=> => AB//NP
Tương tự CD// PM => AEDP là hình bình hành
(với E = AB ( CD). Do (PAT ~ (PTM
=> PT2 = PA.PM tương tự PT2 = PD.PN
Vậy PA. PM = PD.DN =>
=>( EBC ~ ( EDA => EBC = EDA => EDA + CBA = 1800 => ABCD nội tiếp.
b. Nối E O2 cắt (C2) tại C` và D`