DE THI HSG 19/04 ( co huong dan giai )

TRƯỜNG THCS TRẦN QUỐC TOẢN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 ( BỘ ĐỀ 3)
Môn: Toán (Thời gian 150 phút)
Câu 1:
Rút gọn biểu thức:
a)

b)

Câu 2 : a/ Giải pt:
= 4
b/ Giải pt:

Câu 3:
Chứng minh rằng với mọi giá trị của mđường thẳng sau đi qua một điểm cố định. Tìm tọa độ điểm đó. y = 2mx + 1 – m
Vẽ đồ thị hàm số y =
.
Câu 4: Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm E trên cạnh BC. Tia AE cắt đường thẳng CD tại G. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AE chứa tia AD, kẻ AF vuông góc với AE và AF = AE.
Chứng minh ba điểm F, D, C thẳng hàng.
Chứng minh:

Biết AD = 13cm; AF : AG = 10 : 13. Tính độ dài FG.
Câu 5: Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Gọi r, s lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp, diện tích tam giác ABC.
Chứng minh: S =

Tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC, biết tam giác ABC là tam giác cân có cạnh đáy bằng 16cm, cạnh bên bằng 10cm.
---------------------------------------------



ĐÁP ÁN TOÁN 9
Câu 1:
a)



Tương tự:





b)







Câu 2 : a/ Giải pt:
= 4 điều kiện : 0

đặt A =

điều kiện A




A = = 4

b/ Giải pt:
ĐK :





Giải pt ta có x2 = 8 , x2 = 6,25
Câu 3: a/ Gọi điểm cố định là M(x0; y0) mà họ đường thẳng y = 2mx + 1 – m (1) đi qua. Thế thì đẳng thức sau phải nghiệm đúng với mọi x:
y0 = 2mx0 + 1 – m

(2x0 – 1)m +(1 – y0) = 0
m
suy ra:


Vậy họ đường thẳng (1) luôn đi qua điểm M

Đồ thị hàm số y =
có y
0 với mọi x.
y =
=

Câu 4



Xét
ABE và
ADF có AB = AD (gt);
AE = AF (gt);
(Góc có cạnh tương ứng vuông góc)


ABE =
ADF (c – g – c)




F, D, C thẳng hàng.
Xét tam giác AFG vuông tại A theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

mà AE = AF nên:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AFG ta có:

mà
nên


(1)
Theo hệ thức về đường cao ta có: AD2 = DF.DG
132 = DF.DG


(2)
Từ (1) Và (2) ta có:


Vậy: FG = 26,9 cm.

Câu 5:


Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì:
SABC = SOAB + SOBC + SOCA =

Kẻ AH
BC thì BH = HC = 8cm.
Và AH2 = AB2 – BH2 = 102 – 82 = 36

AH = 6cm.
SABC =
BC.AH =
16.6 = 48(cm2) (1)
Theo câu a thì SABC =
=
(20 + 8) = 18r (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 18r = 48
r =
(cm)
------------------------------------------------------------------------------