Đề thi HSG 13-14

TRƯỜNG THCS THIỆU PHÚ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2013-2014
MÔN THI: TOÁN
( Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề )


Câu 1: (2,5 đ)
Cho biểu thức: M = (
) : (
)
Rút gọn M
Tìm giá trị của a để M<1
Tìm GTLN của M
Câu 2: ( 1 đ): Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x + 4x = 5x
Câu 3: ( 3 đ)
a/ Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

b/ Cho x, y, z là các số dương thoả mãn
.
Chứng minh rằng:
.
Câu 4: ( 2 đ) Cho điểm A di chuyển trên đường tròn O đường kính BC = 2R ( A không trùng với B và C). Trên tia AB lấy điểm M sao cho B là trung điểm của AM. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC và I là trung điểm của HC.
a/ CMR: M chuyển động trên một đường tròn cố định.
b/ CMR:
AHM đồng dạng với
CIA.
Câu 5: ( 1,5 đ)
Cho hai điểm A, B cố định và điểm M di động sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB và K là chân đường cao vẽ từ M của tam giác MAB. Tìm GTLN của tích KH.KM./.

------------Hết-------------








HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG LỚP 9
Năm học: 2013 -2014
Thời gian làm bài: 150 phút.

Câu
Ý
Nội dung
Điểm

1


2,5đ



a.
ĐK: a
0 ; a
4 ; a

25


:

=
:

=
.
=


0,5

0,5

0,5


b






c.

< 1 <=>
-1< 0 <=>
< 0
<=> 3-
< 0 ( vì
+ 2>0)
<=>
> 3 <=> a >9
Vậy với a>9; a

25 thì M<1

Để M đạt GTLN < = >
< = >
+ 2 nhỏ nhất < = >
= 0
Vậy với a= 0 thì M đạt GTLN




0,5







0,5

2

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x + 4x = 5x

3x + 4x = 5x <=> (
)x + (
)x =1
Ta thấy : x= 2 là nghiệm của phương trình
Xét : x
2
Nếu x> 2 thì (
)x + (
)x >1
Nếu x< 2 dễ thấy : x= 0 và x= 1 không là nghiệm của phương trình
Nếu x<0 ta đặt x= -y thì y> 0 nên y
1
Ta có: (
)x + (
)x =1
<=> (
)-y + (
)-y = 1
<= > (
)y + (
)y = 1 phương trình vô nghiệm vì (
)y + (
)y

> 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên duy nhất : x = 2
1đ



0,25
0,25




0,25




0,25



3


3,0 đ


a
 Cho hai số dương thỏa mãn: x + y =1.
Tìm GTNN của biểu thức: M =

M =
=



Ta có:

* Ta có:
(1) *
(2)
Từ (1) và (2)

Vậy M =

Dấu “=” xảy ra
(Vì x, y > 0)
Vậy min M =
tại x = y =








0,25


0,25


0,25

0,25



0,25





0,25



b
Cho x, y là các số dương thỏa mãn:

Chứng minh rằng:






Áp dụng BĐT
(với a, b > 0)


Ta có:




Tương tự:



cộng vế theo vế, ta có:





0,25









0,25



0,25


0,25