De thi hs g toan 9

PHÒNG GD&ĐT NÚI THÀNH
TRƯỜNG THCS TRẦN QUÝ CÁP



(Đề thi gồm có 01 trang)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2015 - 2017
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 24 tháng 10 năm 2017


Bài 1 (4.0 điểm).
a/ Chứng minh rằng: 32n+1 + 2n+2
7,
.
b/ Cho a+b+c(0; a3+b3+c3=3abc. Chứng minh rằng a=b=c
.
Bài 2 (5.0 điểm).
1) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 8xy+6x -12y+134=0
2) Cho a, b, c > 0 .Chứng minh rằng :

Bài 3 (2 điểm)
Cho biểu thức :

.
Với giá trị nào của x, y thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 4 (3 điểm).
Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm hai đường chéo và diện tích tam giác AOB bằng 4 ,diện tích tam giác COD bằng 9 .Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD.

Bài 5 (3 điểm).
Cho tam giác ABC có
. Đường trung tuyến BM và đường phân giác CD cắt nhau tại K sao cho KB = KC. Kẻ đường cao AH (H
BC). Chứng minh HA = HB.
Bài 6 (3 điểm).
Cho Tam giác ABC cân ở A có góc ABC bằng 1080. Chứng minh
là số vô tỉ.

Họ tên học sinh: .................................................................; Số báo danh: .......................
Giám thị 2: ......................................................................... Ký tên ......................................
PHÒNG GD&ĐT NÚI THÀNH
TRƯỜNG THCS TRẦN QUÝ CÁP

(Đề thi gồm có 04 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn: Toán


Bài
Nội dung
Điểm

Bài 1(4đ)



a/ (2đ)
 32n+1 + 2n+2 = 3.32n + 22.2n
= 3.9n + 4.2n
= 3( 7 + 2 )n + 4.2n
= 7K + 3.2n + 4.2n
= 7K + 7.2n
7,


0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ

b/(2đ)
Áp dụng hằng đẳng thức:(A+B)3=A3+B3+3AB(A+B)
A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2)
a3+b3+c3=3abc((a+b)3+c3-3abc-3ab(a+b)=0
((a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=0
((a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=0 Vì a+b+c(0 nên
a2+b2+c2-ab-bc-ca=0 ((a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0 (a=b=c


0.5
0.5
0.5
0.5

Bài 2(5 đ)



a)
2,5 đ
Ta có: 8xy+6x -12y-134=0
<=>4y(2x-3)+3(2x-3)-134=0
<=> (2x-3)(4y+3)=-143
=13.-11=-11.13=-13.11=11.-13=-1.143=143.-1=1.-143=-143.1


Vậy các cặp (x;y) nguyên thỏa mãn là (-5 ;2), (7; -4), ( 1; 35), (73; -1),


0.5

0.5


1



















0.5

b/ 2.5đ
Vì a, b, c >0 , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :


Suy ra :


(đpcm)



0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ


0,5 đ

Bài 3
(2đ)









Do
và








(0,5đ)

(0