Đề thi học sinh giỏi TPHCM 2016-2017

GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
THÀNH PHỒ HỒ CHÍ MINH CẤP THÀNH PHỐ
_________________ KHÓA THI NGÀY 20/3/2017
Môn thi: TOÁN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 01 trang) (Không kể thời gian phát đề)

Bài 1. (3 điểm)
Cho ba số a, b, c thỏa các điều kiện  a − b = 7, b − c = 3. Tính giá trị của biểu thức
.
Bài 2. (3 điểm)
Giải phương trình:
 

Bài 3. (3 điểm)
Giải hệ phương trình: 


Bài 4. (4 điểm)
1. Cho 2 số thực dương x, y thỏa điều kiện 
. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức P = xy2 2. Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình: (x + y)(x + 2y) = x + 5​

Bài 5. (5 điểm)
1. Cho tam giác nhọn ABC có H là trực tâm.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AH
Đường phân giác trong góc A cắt MN tại K. Chứng minh rằng AK vuông góc với HK. 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi AH, AD lần lượt là đường cao, đường
phân giác trong của tam giác ABC (H, D
BC). Tia AD cắt (O) tại E, tia EH cắt (O) tại 
F và tia FD cắt (O) tại K. Chứng minh rằng AK là đường kính của (O

Bài 6. (2 điểm)
Trong tuần, mỗi ngày Nam chỉ chơi một môn thể thao. Nam chạy ba ngày một tuần nhưng
không bao giờ chạy trong hai ngày liên tiếp. Vào thứ Hai, anh ta chơi bóng bàn và hai ngày
sau đó anh ta chơi bóng đá. Nam còn đi bơi và chơi cầu lông, nhưng không bao giờ Nam
chơi cầu lông sau ngày anh ta chạy hoặc bơi.Hỏi ngày nào trong tuần Nam đi bơi?


HẾT


GỢI Ý
Bài 1. • Từ a − b = 7, b − c = 3 ( a − c = 10, ta có:
•
Bài 2. • Điều kiên: x ( –3
•



• Tập nghiệm của (1) là

Bài 3.  
nên 3x và – 3y là nghiệm của phương trình X2 + 2X – 24 = 0 ( …

Bài 4. 1. • Với x, y > 0, ta có: 
.
• Áp dụng bđt Cauchy, ta có

•

2. • (x + y)(x + 2y) = x + 5​





• Với  x, y nguyên ta có bảng sau:
x + 2y – 2

1
3
–1
–3

 x + y + 1
3
1
–3
–1

 y – 3
–2
2
2
 –2

y
1
5
5
 1

x
1
 –5
 –9
–3


Bài 5.  1.Chứng minh rằng AK vuông góc với HK.
• Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC
có tâm là M.
• Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp đường tròn đường kính AH
có tâm là N. Cho đường tròn (N) cắt NM tại K’ (

( AK’ ( HK.
• NM là đường trung trực của dây chung FE mà

( K’F = K’E (
mà
và

(do tứ giác AFK’E nội tiếp)(

( AK’ là phân giác trong góc A mà AK là phân giác trong góc
A(gt) và
(
( AK ( HK(đpcm).
2. Chứng minh rằng AK là đường kính của (O
•

( tứ giác AFHD nội tiếp (


mà
là góc nội tiếp của đường tròn (O) ( AK là đường kính
của (O) (đpcm
• Xét tiếp các trường hợp:
,
, H ở ngoài cạnh BC.

Bài 6. Vào thứ Hai, anh ta chơi bóng bàn và hai ngày sau đó anh ta chơi bóng đá.
• Nếu 0 ngày sau đó anh ta chơi bóng đá thì ngày chơi bóng đá là thứ Hai.
• Nếu 1 ngày sau đó anh ta chơi bóng đá thì ngày chơi bóng đá là thứ Ba.
• Đề bài cho hai ngày sau đó anh ta chơi bóng đá nên ngày chơi bóng đá là thứ Tư.
Suy ra 3 ngày chạy