ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2011- 2012


MÔN: TOÁN

 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề này có 01 trang)
----------
ĐỀ BÀI
Câu 1.(3 điểm). Cho biểu thức:

a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để P < 0.
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất .
Câu 2.(4 điểm).
a) Giải phương trình sau:

b) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn: xy + yz + zx = 2011. Tính giá trị biểu thức:
Q =

Câu 3. (3 điểm). Giải các phương trình, hệ phương trình sau:
a)
b)

Câu 4. (6 điểm). Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a. M là điểm di động trên đoạn OB( M không trùng với O và B). Vẽ đường tròn tâm I đi qua M và tiếp xúc với BC tại B, vẽ đường tròn tâm J đi qua M và tiếp xúc với CD tại D. Đường tròn (I) và đường tròn (J) cắt nhau tại điểm thứ hai là N.
a) Tính góc BND, từ đó suy ra 5 điểm A, N, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh rằng: C, M, N thẳng hàng.
c) Tính OM theo a để tích NA.NB.NC.ND lớn nhất?
Câu 5.(4 điểm).
Cho x
1, y
1. Chứng minh:

Cho hai số tự nhiên m và n thoả mãn
là số nguyên. Chứng minh rằng: Ước chung lớn nhất của m và n không lớn hơn
.





ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
CÂU
ĐÁP ÁN
ĐIỂM









1
a) ĐK: x>0, x≠4, x≠9.
0,25


Ta có:




0,5





0,25





0,5


b)
(Vì x>0) ⇔x<4
0,25


Kết hợp với điều kiện đầu ta có: x∈{1, 2, 3} thì P<0
0,25


c)


0,25


dụng BĐT Cosi ta có:

(
Hay



0,25


Dấu “=” xảy ra khi




0,25


Vậy
đạt giá trị nhỏ nhất là
khi

0,25







2
a) Điều kiện:

0,25


 Đặt

Theo bài ta có:
giải hệ ta tìm được u=v=1
0.5

1


Thay u vav tìm được vào (*) ta được x = 0.
0,25


b) Ta có:
2011+ y2= y2+ xy + yz + zx = (x+y)(y+z); (4)
2011+ z2= z2+ xy + yz + zx = (x+z)(y+z); (5)
2011+ x2= x2+ xy + yz + zx = (x+y)(x+z) (6)



1,5


Thay (4), (5), (6) vào Q ta được: Q = 2(xy + yz + zx )= 2.2011= 4022
0,5








3
a)
(x≥-1)
0,25



0,25





0,25


Vậy tập nghiệm của phương trình là: S={0; 1}
0,25


b) Ta có x + y + z =9
91 = (x+y+z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy+yz+zx)




0,5





0,5


Do đó:

Vậy: x = y = z = 3


0,75



0,25












4


a) Vẽ hình đúng, đẹp










0,5


Ta có:
(Cùng chắn cung BM)

(Cùng chắn cung DM)

1



Do đó: 5