đề thi học sinh giỏi toán lớp 9

SỞ GD&ĐT LÂM ĐỒNG
PHÒNG GD&ĐT CÁT TIÊN

(Đề thi có 01 trang)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn: TOÁN – Khối THCS
Thời gian : 150 phút (Không kể thời gian phát đề)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(ĐỀ THI GỒM 01 TRANG)
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian phát đề)
Câu 1: Một quyển sách có 560 trang. Hỏi phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số để đánh số các trang của quyển sách này.
Câu 2: Chứng minh rằng số có dạng:
chia hết cho 24 với

Câu 3: Tìm
biết:

Câu 4: Tính tổng:

Câu 5: Tính

Câu 6: Giải phương trình:

Câu 7: Giải hệ phương trình sau:

Câu 8: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
. Biết

Câu 9: Cho a, b, c là các số không âm thỏa:
. Chứng minh

Câu 10: Cho hình thang vuông ABCD
, tia phân giác của góc C đi qua trung điểm I của AD.
Chứng minh BC là tiếp tuyến của (I; IA)
Gọi H là tiếp điểm của BC với (I; IA), K là giao điểm của AC và BD.
Chứng minh rằng KH song song với DC.
Câu 11: Tính độ dài phân giác AM của tam giác ABC, biết AB = 12cm, AC=15cm,
BC = 18 cm.
Câu 12: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh rằng:

===================== Hết =====================
Họ và tên thí sinh: …………………………………………. Số báo danh:………………….
Chữ ký giám thị 1:………………………….. Chữ ký giám thị 2:……………………………..
SỞ GD&ĐT LÂM ĐỒNG
PHÒNG GD&ĐT CÁT TIÊN


KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn: TOÁN – Khối THCS



HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MÔN TOÁN
Câu 1 :
2 điểm

Số các số có một chữ số từ 1 đến 9 là : 9 – 1 + 1 = 9 ( số )
Số các số có hai chữ số từ 10 đến 99 là : 99 – 10 + 1 = 90 ( số )
Số các số có ba chữ số từ 100 đến 560 là : 560 – 100 + 1 = 461 ( số )
Số chữ số để đánh số các trang của quyển sách là :
9 . 1 + 90 . 2 + 461 . 3 = 1572 Chữ số
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm

0,5 điểm

Câu 2:
2 điểm


= n ( n3 + 6n2 + 11n + 6 )
= n ( n3 + n2 + 5n2 + 5n + 6n + 6 )
= n ( n + 1) ( n2 + 5n + 6 )
= n ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3 )
Vì n, n + 1, n + 2, n + 3 là 4 số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3, có hai số chẵn liên tiếp nên một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4.
Suy ra n ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3 )
24 hay

24


0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm


0,5 điểm

Câu 3:
2 điểm



Ta có n ( n + 1) = 210
Ta phân tích số 210 ra thừa số nguyên tố rồi ghép các thừa số lại để được tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
210 = 2 . 3 .5 .7 = ( 2 . 7) ( 3. 5) = 14 . 15
Vậy n ( n + 1) = 14 . 15
Suy ra n = 14

0,25 điểm

0,25 điểm


0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm

Câu 4:
2 điểm






0,5 điểm

0,5 điểm


0,5 điểm

0,5 điểm

Câu 5:
2 điểm



=

=

=

=
= 4






0,5 điểm

0,5 điểm

0,5điểm

0,5 điểm

Câu 6
2 điểm



Ta có:

Đặt

Ta có:

Pt trở thành:



















0,25 điểm

0,25