đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh yên bái có đáp án 2007-2008

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – HƯỚNG DẪN GIẢI
Năm học: 2007 – 2008


Bài 1 (4 điểm). Cho a là một số tự nhiên lẻ, b là số tự nhiên. Chứng minh rằng các số a và ab + 4 không có ước số chung khác ±1

Giải: Giả sử a và ab + 4 có ước số chung khác 1 là d. Thế thì:
ab
d và ab + 4
d ( ab + 4 – ab
d
Do đó: d \ 4 nên d = ±1; ±2; ±4. Nhưng theo giả thiết a là số lẻ nên: d = ±1
Vậy: a và ab + 4 không có ước số chung khác ±1

Bài 2 (4 điểm). Cho hệ phương trình
(a, b là số nguyên dương và a ≠ b). Tìm tất cả các cặp giá trị của a, b để hệ phương trình có nghiệm số nguyên dương

Giải: Trừ hai phương trình của hệ vế với vế ta được: (a – b)(x – y) = 0
Do a ≠ b nên: x – y = 0 ( x = y. Thế vào hệ ta được: (a + b)x = 15 (

Vì x nguyên dương nên: a + b \ 15 và a, b là số nguyên dương. Suy ra: a + b ( {3; 5; 15}
– Nếu a + b = 3 ( (a, b) ( {(1; 2); (2; 1)}
– Nếu a + b = 5 ( (a, b) ( {(1; 4); (4; 1); (2; 3); (3; 2)}
– Nếu a + b = 15 ( (a; b) ( {(1; 14); (14; 1); (2; 13); (13; 2); (3; 12); (12; 3); (4; 11); (11; 4); (5; 10); (10; 5); (6; 9); (9; 6); (7; 8); (8; 7)}

Bài 3 (3 điểm). Giải phương trình:
(1)

Giải: (1) (

Dễ thấy: x = 5 là nghiệm của phương trình đã cho
– Nếu x > 5: –2(x – 5) > –3(x – 5). Phương trình có vế trái nhỏ hơn vế phải ( x > 5 không là nghiệm của phương trình đã cho
– Nếu x < 5: –2(x – 5) < –3(x – 5). Phương trình có vế trái lớn hơn vế phải ( x < 5 không là nghiệm của phương trình đã cho
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 5

Bài 4 (5 điểm).
a) Cho tam giác vuông ABC có các cạnh góc vuông là a, b và cạnh huyền là c. Chứng minh rằng:
. Với điều kiện nào của a, b thì
, khi đó tính giá trị của c theo a và b
b) Cho 2 số thực a, b thỏa mãn điều kiện a2 + b2 ≤ 2. Chứng minh rằng: a + b ≤ 2

Giải: a) Theo ĐL Pitago: a2 + b2 = c2
Mặt khác: a2 + b2 ≥ 2ab
Cộng vào 2 vế a2 + b2: 2(a2 + b2) ≥ a2 + b2 + 2ab ( 2c2 ≥ (a + b)2
Do a, b, c là các số dương vì là độ dài ba cạnh tam giác. Nên:

Dấu “=” xảy ra ( a = b. Khi đó:

b) (a – b)2 ≥ 0 ( 2ab ≤ a2 + b2 (1). Theo giả thiết: a2 + b2 ≤ 2 (2)
Cộng (1) và (2): a2 + b2 + 2ab ≤ a2 + b2 + 2 ≤ 2 + 2 = 4 (vì a2 + b2 ≤ 2)
Do đó: (a + b)2 ≤ 4 ( |a + b| ≤ 2 Nên: a + b ≤ |a + b| ≤ 2
Vậy: a + b ≤ 2
Bài 5 (4 điểm). Cho ∆ABC trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại D và E, BE cắt CD tại O. Chứng minh rằng ba điểm A, O, M thẳng hàng

Giải: Gọi N là giao điểm của AM và DE
Do DN // BM nên:

Do EN // CM nên:

Suy ra:
. Do BM = CM (gt) ( DN = EN
Ta có: SBMND = SCMNE (1)
Mặt khác: SDNO = SENO; SDBO = SCOE; SBOM = SCMO
Suy ra: SDNO +