Đề thi học sinh giỏi Toán 9 tỉnh BRVT 2013-2014

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU


ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
NĂM HỌC: 2013 – 2014
-------------------------------------
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 28/03/2014


Bài 1 (4,0 điểm).
Chứng minh rằng
chia hết cho 9
.
Tìm tất cả các cặp số nguyên
thỏa mãn phương trình
.
Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên n gồm không quá p chữ số 1 (n không có chữ số nào khác 1) và n chia hết cho p.
Bài 2 (4,0 điểm).
Giải phương trình
.
Giải hệ phương trình
.
Bài 3(4,0 điểm).
Rút gọn biểu thức
.
Cho
là bốn số dương thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức


Bài 4(5,0 điểm). Cho tứ giác lồi ABCD có hai điểm A, C cố định và hai điểm B, D thay đổi sao cho
và
. Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng BC và AD, F là giao điểm của hai đường thẳng DC và AB.
Chứng minh EF = AC.
Chứng minh BD có độ dài không đổi.
Gọi O’ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. Chứng minh O’ nằm trên một đường tròn cố định.
Bài 5(3,0 điểm). Cho (ABC không cân có ba góc nhọn, AB < AC và đường cao AH (H ( BC). Kẻ HE // AC và HM ( AB (E, M ( AB). Kẻ HF // AB và HN ( AC (F, N ( AC). Gọi P là giao điểm của HF và MN. Chứng minh CP ( HF và ba đường thẳng EF, MN và BC đồng quy.

-----------------HẾT---------------

Họ và tên thí sinh:…………………………………
Số báo danh:………………………………………..
Chữ ký giám thị số 1:………………