De thi hoc sinh gioi toan 9 Nam hoc 20072008.@

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009
MÔN: TOÁN 9. Thời gian làm bài: 120 phút
–––––––––––––––––––


Câu 1: (2 điểm)
Chứng minh rằng tổng các bình phương của ba số nguyên liên tiếp không phải là bình phương của một số nguyên.
Câu 2: (2 điểm)
Hãy tính giá trị của biểu thức P = a3 + b3 – 3(a + b) + 2008 bết rằng:

(Không sử dụng máy tính cầm tay).
Câu 3: (3 điểm)
Trên một mặt phẳng tọa độ, cho các điểm M(2; 1), N(3; – 4), P(5; 3) lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và CA của tam giác ABC.
a.- Viết phương trình của đường thẳng BC.
b.- Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Câu 4: (5 điểm)
a.- Cho x > 0; y > 0. Chứng minh rằng


b.- Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Đặt p =
. Chứng minh rằng nếu
thì tam giác đó là tam giác đều.
Câu 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và có độ dài 3 cạnh BC, AC, AB lần lượt bằng a, b, c.
Chứng minh rằng:

Câu 6: (4 điểm)
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh A lên đường chéo BD của hình chữ nhật ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn BH và CD. Chứng minh rằng 4 điểm A, P, Q và D cùng nằm trên một đường tròn.

––––––––––––––














ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009
MÔN: TOÁN 9.
–––––––––––––––––––


Câu 1: (2 điểm)
Gợi ý giải:
+ Để ý rằng nếu n là một số nguyên bất kì thì số dư khi chia n2 cho 3 chỉ có thể là 0 hoặc 1 (1). (Thật vậy: Nếu n = 3k thì n2 chia hết cho 3; nếu n = 3k
1 thì n2 = 3p + 1 nên n2 chia 3 dư 1 với k; p là các số nguyên ).
+ Gọi a – 1, a, a + 1 là ba số nguyên liên tiếp. Đặt m = (a – 1)2 + a2 + (a + 1)2 thì m = 3a2 + 2 (2)
Vậy từ (1) và (2) suy ra tổng các bình phương của ba số nguyên liên tiếp không phải là bình phương của một số nguyên.
Câu 2: (2 điểm)
Gợi ý giải:
Từ giả thiết suy ra a3 = 10 + 3a; b3 = 34 + 3b
Suy ra P = (a3 – 3a) + (b3 – 3b) + 2008 = 2052.
Câu 3: (3 điểm)
Gợi ý giải:
a.- + Viết được phương trình của đường thẳng MP là y =
x –

+ Đường thẳng BC song song với MP nên phương trình có dạng y =
x + b. Vì N thuộc đường thẳng BC suy ra b = – 6.
Vậy phương trình của đường thẳng BC là y =
x – 6 .
b.-
+ Tương tự ta có PTĐT AC là y = – 5x + 28 và PTĐT AB là y =
x – 6
+ Giải hệ
ta suy ra tọa độ đỉnh A là A (4; 8)
Tương tự B(0; – 6); C(6; – 2)
+ Gọi d1 là đường thẳng đia qua A và song song với BC, d2 là đường thẳng đi qua C và song song với AB.
Lập luận, xác định được phương trình dường thẳng d1 là y =
; phương trình của đường thẳng d2 là y =
x – 23 (2).
Giải hệ phương trình tạo bởi (1) và (2) ta có nghiệm của hệ (x = 10; y = 12) là tọa độ giao điểm của d1 và d2. Vậy D(10; 12).

Câu 4: (5 điểm)
Gợi ý giải:
a.- Vì x > 0; y > 0 nên

...
(x – y)2
0
Vậy nếu x > 0; y > 0 thì
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y.
b.- Từ giả thiết suy ra
> 0 ;

Áp dụng kết quả câu a ta có:

Tương tự, suy ra

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Câu 5: (4 điểm)