Dề thi học sinh giỏi toán 9

đề thi học sinh giỏi
Môn : Toán. Lớp 9
Thời gian : 180 phút ( Không kể thời gian giao đề )


Câu 1: (1 điểm)
Cho a, b ( Z. Chứng minh rằng
số N = 5a2 + 15ab – b2 chia hết cho 49 khi và chỉ khi 3a + b chia hết cho 7.
Câu 2: (1 điểm)
Cho n ( N. Chứng minh rằng (7n +3n – 1)
9
Câu 3: (1 điểm)
Cho biểu thức:
a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
b) Rút gọn A.
Câu 4: (1 điểm)
Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

Câu 5: (2 điểm)
Trong một cuộc thi đấu cờ có hai học sinh lớp 8 thi đấu cùng một số học sinh lớp 9. Theo điều lệ giải, hai học sinh bất kỳ phải thi đấu với nhau một trận, thắng được 1 điểm, hòa được 0,5 điểm, thua 0 điểm. Hỏi có bao nhiêu học sinh lớp 9 tham dự biết rằng hai học sinh lớp 8 đều được 8 điểm, tất cả học sinh lớp 9 đều có số điểm bằng nhau và số học sinh lớp 9 tham dự giải nhiều hơn 10 em.
Câu 6: (2 điểm)
Trên các cạnh BC và CD của hình vuông ABCD lấy các điểm E và F sao cho: EC = 2EB và FC = FD. Chứng minh: góc AEB = góc AEF
Câu 7: (2 điểm)
Cho ∆ ABC cân tại A có góc A = 800. D là điểm nằm trong tam giác sao cho góc DBC = 100; góc DCB = 300. Tính góc BAD.









Hết
Đáp án Môn Toán

Câu 1: (1 điểm)
* Nếu 5a2 + 15ab – b2
49
( 5a2 + 15ab – b2
7
( 9a2 + 6ab + b2
7
( (3a + b)2
7
Do đó 3a + b
7 (0,5 điểm)
* Nếu 3a + b
7 ( 3a + b = 7c (c ( Z)
( b = 7c – 3a
Do đó 5a2 + 15ab – b2 = 49(3ac – a2)
49 (0,5 điểm).
Câu 2: (1 điểm)
Chứng minh bằng quy nạp
Đặt A(n) = 7n +3n – 1
A(0)
9
Giả sử A(n)
9 Ta chứng minh A(n+1)
9
Thật vậy: A(n + 1) = 7n + 1 + 3(n + 1) – 1 (0,5 điểm).
= 7.7n + 3n + 2
= 7An – 18n + 9 = 7An – 9(2n + 1)
9 (0,5 điểm).
Câu 3: (1 điểm)
a) Điều kiện:
(0,5 điểm)
b) Rút gọn:

(0,5 điểm) Câu 4: (1 điểm)
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương 2/3 và 1- a, ta được

Tương tự:
Cộng từng vế các Bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh. ( 0,5 điểm )
Câu 5: (2 điểm)
Gọi x là số học sinh lớp 9 ( x (N*)
Gọi y là số điểm mỗi học sinh lớp 9 đạt được (y ( N)
Lập luận để đi đến phương trình
(1 điểm)
( x2 + 3x – 14 = 2xy
Do y là điểm của học sinh nên chỉ có thể là số nguyên hoặc số thập phân có phần sau dấu phẩy là 0,5
=> 2y ( N
=> 2xy
x do đó x2 – 3x – 14
x hay 14
x => x = { 1; 2;