Đề thi học sinh giỏi toán 9

ĐỀ SỐ 1: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 (CÓ BÀI GIẢI)
Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1: (4 điểm) Cho phương trình:

a) Định m để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu.
b) Định m để phương trình có hai nghiệm
thỏa:

Bài2: (3 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây:
a)

b)

Bài3: (3 điểm)
a) Cho
. Chứng minh:

b) Cho
. Chứng minh:

c) Cho
là ba cạnh của một tam giác. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:


Bài4: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp trong đường tròn (O), đường kính là AI. Gọi E là trung điểm của AB và K là trung điểm của OI.
a) Chứng minh tam giác EKB là tam giác cân.
b) Chứng minh tứ giác AEKC là một tứ giác nội tiếp được.
Bài5: (3 điểm) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của tứ giác ABCD. Cho biết diện tích tam giác AOB bằng 4cm2, diện tích tam giác COD bằng 9cm2. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD.
Bài6: (3 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 4cm. Vẽ hai tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O) và tiếp tuyến thứ ba tại M thuộc (O) (khác A và B) cắt Ax, By lần lượt tại D và E. Cho biết diện tích tứ giác ABED bằng 10cm2. Tính diện tích tam giác ABM.

BÀI GIẢI
Bài 1: (4 điểm) Cho phương trình:

a) Định m để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu.
b) Định m để phương trình có hai nghiệm
thỏa:

Giải:
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu


b) Phương trình có hai nghiệm
:


Theo hệ thức Vi-ét ta có:

Do đó:








thỏa điều kiện

Vậy giá trị m cần tìm là

Bài2: (3 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây:
a)

b)

Giải:
a) Đặt:

Phương trình đã cho trở thành:



Phương trình có hai nghiệm phân biệt:



ta có


(loại)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là


b) Đặt:

Hệ phương trình đã cho trở thành:


Do đó:

Bài3: (3 điểm)
a) Cho
. Chứng minh:

b) Cho
. Chứng minh:

c) Cho
là ba cạnh của một tam giác. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:


Giải:
/