ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013 Yên Định

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN YÊN ĐỊNH

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 26/02/2013
(Đề thi này gồm 01 trang)



Câu 1: (3 điểm) Cho A =

a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A > 0 .
c) Tìm giá trị lớn nhất của A .
Câu 2: (6 điểm)
a) Giải phương trình:

b) Giải bất phương trình: |2x-7| < x2 + 2x + 2
c) Giải hệ phương trình:

Câu 3 : (4 điểm)
a) Cho
, tính giá trị của biểu thức:


b) Tìm số tự nhiên n sao cho
là số chính phương.
Câu 4 : (5 điểm)
a) Từ một điểm A nằm ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M,N
(O;R)). Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M và N. Tiếp tuyến tại P cắt AM tại B, cắt AN tại C. Cho A cố định và AO = a. Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi khi P di động trên cung nhỏ MN. Tính giá trị không đổi ấy theo a và R.
b) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 36 (đơn vị diện tích). Trên cạnh BC và cạnh CA lần lượt lấy điểm D và E sao cho DC = 3DB và EA = 2EC; AD cắt BE tại I. Tính diện tích tam giác BID.
Câu 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:



Hết


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN YÊN ĐỊNH

HƯỚNG DẪN CHẤM
THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: Toán
Ngày thi: 26/02/2013
(Hướng dẫn chấm này gồm 03 trang)


Câu
ý
Đáp án và hướng dẫn chấm
Điểm

1
a
ĐKXĐ:



0.25đ
0.75đ


b

(vì
)
0.25đ

0.75đ


c


Vậy GTLN của A =

0.75đ



0.25đ

2
a


Đặt
ta được phương trình:


y =
<0 (loại); với y = 2 ta có



hoặc
(thỏa mãn phương trình đã cho)
Vậy pt đã cho có 2 nghiệm:
,


0.25đ

0.25đ

0.5đ



0.25đ

0.5đ
0.25đ


b
Vì x2 + 2x + 2 = (x+1)2+1 > 0
Nên: |2x-7| < x2 + 2x + 2 <=>

<=>

<=> x2+4x+4>9 <=> (x+2)2 >9 <=> |x+2| >3
<=>

Kết luận nghiệm bất phương trình
0.25đ

0.5đ

0.25đ

0.25đ

0.5đ
0.25đ


c
Biến đổi


Từ hệ ta có x – y > 0
Nhân hai vế của (1) với 17 và nhân hai vế của (2) với 9 rồi đồng nhất sau khi nhân ta được:
17(x – y)(x + y)2 = 9(x - y)(x2 +y2)
4x2 + 17xy + 4y2 = 0
Nếu y = 0 thì x = 0 => không thỏa mãn hệ.
Nếu y
0 , chia hai vế của 4x2 + 17xy + 4y2 = 0 cho y2
và đặt t = x/y được: 4t2 +17t + 4 = 0 <=> (t+4)(4t+1) = 0
<=> t = - 4 hoặc t = - 1/4
<=> x = -4y hoặc y = - 4x
thay vào hệ phương trình trên được nghiệm của phương trình đã cho là: (x ; y)
{(4;-1);(1;-4)}

0.25đ
0.25đ

0.5đ

0.5đ


0.25đ

0.25đ

3
a




1đ


1đ


b

là số chính phương nên A có dạng


(Vì 23 là số nguyên tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1)


Vậy với n = 5 thì A là số chính phương


0.5đ

0.5đ