Đề thi học sinh giỏi cấp huyện và đáp án

ĐỀ KIỂM TRA 1
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức với

Bài 2: Chứng minh rằng n nguyên dương, đều có:
chia hết cho 91
Bài 3: a) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: Tính giá trị lớn nhất của:


b) Chứng minh rằng với mọi a, b, c là các số nguyên không âm:


Bài 4: Cho phương trình: (x là ẩn số)
a) Giải phương trình khi a=1
b) Tìm a để phương trình có 4 nghiệm Khi đó tồn tại hay không giá trị lớn nhất của:


Bài 5: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự ấy, (O) là đường tròn đi qua B,C. Kẻ từ A các tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E, F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC, N là trung điểm của EF.
a) Chứng minh E, F nằm trên 1 đường tròn cố định khi (O) thay đổi
b) Đường thẳng FI cắt (O) tại E’. Chứng minh EE’ // AB.
c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOI nằm trên đường thẳng cố định khi (O) thay đổi.



HƯỚNG DẪN ĐỀ 1
Bài 1. Ta rút gọn x:


Ta có:
a)
b)
c)
Suy ra:
Như vậy:

Tính A, ta có:
(1)
Thay x vào (1) ta được:
Bài 2: n nguyên dương, ta có:

Ở đó: và
Suy ra (1)
Lại có:
Ở đó: và
Suy ra (2)
Từ (1) và (2) suy ra và ta có (đpcm.)
Bài 3: Ta có:
a)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

b) Ta có:
3
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hay là
Ta có
Với hoặc ta có:
Với hoặc ta có:
Với hoặc ta có:
Suy ra:

Như vậy
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Bài 4: Phương trình đã cho có thể biến đổi thành:

a) Với a=1 phương trình đã cho trở thành:




b) Mỗi phương trình có nhiều nhất là 2 nghiệm. Để phương trình đã cho có 4 nghiệm thì mỗi phương trình như trên phải có đúng 2 nghiệm và các nghiệm đó khác 0. Như vậy, để phương trình ban đầu có 4 nghiệm, điều kiện cần và đủ là:

*Với phương trình đã cho có 4 nghiệm là:

Như thế:


Tuy nhiên và không đạt được giá trị nên S không có giá trị lớn nhất!
Bài 5:
a)
Vì AF là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ta có:
Xét AFB và ta có:
FABFAC

Suy ra AFB
Suy ra:

Suy ra E, F là các điểm nằm trên đường tròn (A, )
b) Vì AF là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ta có:
(1)
Mặt khác:
(2)
Và:
(4 điểm A, E, I, F cùng nằm trên đường tròn đường kính AO) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra được: . Suy ra EE’ // AB (Theo dấu hiệu góc đồng vị của hai đường thẳng song song)
c) Xét và ta có:
OAI =
ANKAIO=900
Suy ra OAI KAN

(1)
Mặt khác (2)
Từ (1) và (2) suy ra AK.AI = AB.AC = const
Suy ra K là điểm cố định
Dễ dàng nhận thấy đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI cũng chính là đường tròn ngoại tiếp tứ giác OIKN, suy ra tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI nằm trên đường trung trực của KI là đường thẳng cố định. Từ đó ta có (đpcm).