Đề thi học kì 2

ĐỀ BÀI:
Câu I: (2 điểm). Cho hai biểu thức
và
,với

1) Tính giá trị của
, biết
.
2) Rút gọn biểu thức
.
3) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Câu II (2,0 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Vào thế kỷ thứ
trước Công Nguyên vua xứ Xiracut giao cho Acsimet kiểm tra chiếc mũ bằng vàng của nhà vua có bị pha thêm bạc hay không. Chiếc mũ có trọng lượng
Niutơn, nhúng trong nước thì trọng lượng giảm
Niutơn. Biết khi cân trong nước, vàng giảm
trọng lượng, bạc giảm
trọng lượng. Hỏi chiếc mũ chứa bao nhiêu gam vàng, bao nhiêu gam bạc? Biết vật có khối lượng
gam thì có trọng lượng
Niutơn.
Câu III (2 điểm)
1, Giải hệ phương trình:

2, Cho hàm số
(với
) có đồ thị là đường thẳng
. Tìm
để đường thẳng
cắt đường thẳng
tại điểm có hoành độ bằng
.
3. Cho phương trình
. Tìm
để phương trình có hai nghiệm phân biệt
sao cho

Câu IV: (3,5 điểm) Cho đường tròn
và một điểm
nằm ngoài đường tròn
. Kẻ hai tiếp tuyến
với đường tròn
. Một đường thẳng
thay đổi đi qua
cắt
tại hai điểm
và
(
,
không đi qua
). Gọi
là trung điểm
.
CMR tứ giác
nội tiếp đường tròn.
CMR:
và tính
khi
.
Đường thẳng
cắt
tại điểm thứ hai
. CMR:
song song với
.
Hai tiếp tuyến của
tại
và
cắt nhau tại
. Chứng minh rằng khi
di động thỏa mãn yêu cầu đề bài thì điểm
luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Câu V. (0,5 điểm) Giải phương trình:

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu I: (2 điểm). Cho hai biểu thức
và
,với

1) Tính giá trị của
, biết
.
2) Rút gọn biểu thức
.
3) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
HƯỚNG DẪN
Tính giá trị của
, biết
.
Giải phương trình:

Ta có

Phương trình
có hai nghiệm phân biệt là:

Thay
(tmđk) vào biểu thức
ta được:


Với
không thỏa mãn điều kiện
.
Vậy giá trị của
với
thỏa
.
Rút gọn biểu thức
.

MTC:

ĐKXĐ:







Vậy
( Với
)

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức



( Với
)
Điều kiện để tồn tại
là

Khi đó xét
. Đặt


Do

Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm
và
, ta có:







Vậy
khi
.
Câu II (2,0 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Vào thế kỷ thứ
trước Công Nguyên vua xứ Xiracut giao cho Acsimet kiểm tra chiếc mũ bằng vàng của nhà vua có bị pha thêm bạc hay không. Chiếc mũ có trọng lượng
Niutơn, nhúng trong nước thì trọng lượng giảm
Niutơn. Biết khi cân trong nước, vàng giảm
trọng lượng, bạc giảm
trọng lượng. Hỏi chiếc mũ chứa bao nhiêu gam vàng, bao nhiêu gam bạc? Biết vật có khối lượng
gam thì có trọng lượng
Niutơn.
HƯỚNG DẪN
Đổi
Niutơn =
gam nên
Niutơn =
gam;
Niutơn =
gam.
Gọi
lần lượt là khối lượng vàng, bạc có trong chiếc mũ của nhà vua

Theo đề ta có:
Chiếc mũ có trọng lượng
Niutơn nên
.
Nhúng trong nước thì trọng lượng giảm
Niutơn. Biết khi cân trong nước, vàng giảm
trọng lượng, bạc giảm
trọng lượng nên
.
Do đó ta có hệ phương trình:

Vậy chiếc mũ của nhà vua có
gam Vàng và
gam bạc.
Câu III (2 điểm)
Giải hệ phương trình:

Cho hàm số
(với
) có đồ thị là đường thẳng
. Tìm
để đường thẳng
cắt đường thẳng
tại điểm có hoành độ bằng
.
Cho phương trình
. Tìm
để phương trình có hai nghiệm phân biệt
sao cho

HƯỚNG DẪN
Điều kiện



Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
là

Vì đường thẳng
cắt đường thẳng
tại điểm có hoành độ bằng
nên
là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của
cắt đường thẳng
.
Do đó ta có:
có một nghiệm là

Suy ra

Vì phương trình

có

nên
luôn có hai nghiệm phân biệt
. Khi đó theo Vi