Đề thi học kì 1

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI
Năm học 2015 – 2016
Môn: Toán – Thời gian: 120 phút
Bài I (2,0 điểm)
Cho hai biểu thức 𝑃
𝑥+3
𝑥−2 𝑣à 𝑄
𝑥−1
𝑥+2
5
𝑥−2
𝑥−4, 𝑣ớ𝑖 𝑥>0, 𝑥≠4.
Tính giá trị của biểu thức P khi x = 9.
Rút gọn biểu thức Q.
Tìm x để biểu thức
𝑃
𝑄 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài II (2,0 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60 km, sau đó chạy xuôi dòng 48 km trên cùng một dòng sông có vận tốc của dòng nước là 2 km/h. Tính vận tốc của tàu khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ.
Bài III (2,0 điểm)
Giải hệ phương trình
2
𝑥+𝑦
𝑥+1=4
𝑥+𝑦−3
𝑥+1=−5

Cho phương trình
𝑥
2
𝑚+5
𝑥+3𝑚+6=0
𝑥 𝑙à ẩ𝑛 𝑠ố.
Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5.
Bài IV (3,5 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO (C khác A và O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K. Gọi M là điểm bất kỳ trên cung KB (M khác K và B). Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM, BM lần lượt tại H và D. Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai N.
Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh CA.CB = CH.CD
Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn đi qua trung điểm của DH.
Khi M di động trên cung KB, chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài V (0,5 điểm)
Với hai số thực a, b không âm thỏa mãn
𝑎
2
𝑏
2=4, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 𝑀
𝑎𝑏
𝑎+𝑏+2.
----- Hết -----