Đề thi HGS Môn Toan 9 ( 2012-2013 )

phòng giáo dục & đào tạo Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Huyện Năm học 2012-2013
Đề Chính thức

 Môn Toán học

( Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề)

Câu 1( 4 điểm) : Cho biểu thức
P
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa ?
b) Khi P có nghĩa, chứng tỏ P không phụ thuộc vào x
Câu 2 ( 4 điểm)
1- So sánh : và
2- Giải bất phương trình :
2 -
Câu 3 ( 4,5 điểm)
1 - Cho a + b =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q= a3 + b3 + ab
2 - Biết ax + by + cz = 0 hãy tính giá trị biểu thức
P =
Câu 4 ( 4 điểm)
Cho tam giác ABC , lấy điểm C’[AB] . Qua A vẽ đường thẳng song song với CC’, cắt BC tại A’. Qua B vẽ đường thẳng song song với CC, cắt AC tại B’ Chứng minh rằng :
Câu 5 (3,5 điểm )
Một học sinh viết dãy số sau : 49, 4489, 444889, 44448889, .... (số đứng sau được viết 48 vào giữa số đứng trước ) . Chứng minh rằng tất cả các số viết theo quy luật trên đều là số chính phương


Lưu ý : Giám thị coi thi không giải thích gì thêm phòng giáo dục & đào tạo hướng dẫn chấm đề môn toán
Huyện Năm học 2012-2013

Câu
bài
Nội dung
Điểm

1
a
xy và x>0 ; y >0
2


b



=-2
Vậy A==-2không phụ thuộc vào x


0,5

0,5

0,5

0,5

2
1



Vậy

0,5
0,5

0,5

0,5


2
2 - đ/k x2 ; x1
Ta có



x-2)(x-1)(2x-3) > 0 (*)
Lý luận hoặc lập bảng xét ta có: (*) 12
So với đ/k nghiệm bất phương trình là 12

0,25


0,25

0,25

0,25
0,25

0,5
0,25

3
1
Q= a3 + b3 + ab = (a+b)(a2 - ab + b2) +ab
= (a+b)[(a+b)2 – 3ab] +ab
Thay a+b = 1
Q= 1- 2ab = 1- 2a(1-a)
= 2a2 -2a +1
= 2(a- 2 +
Do đó MinQ= khi a=b

0,25
0,25

0,5
0,5

0,25
0,25


2
Ta có ax +by +cz = 0
a2x2 + b2y2 + c2z2 + 2abxy+2bcyz +2cazx= 0
a2x2 + b2y2 + c2z2 = - 2abxy-2bcyz - 2cazx (*)
Ta có P=
=
Thay (*) vào tử số của P ta có tử số của P là:
bc(y2+z2)+ca(z2+x2)+ ab(x2+y2) +a2x2 + b2y2 + c2z2
= x2(a2+ab +ac)+y2(ab+b2+bc)+z2(ac +bc +c2)
= ax2(a+b+c) + by2( a+b+c) + cz2(a + b +c)
= ( a+b+c)(ax2+by2+cz2)
Ta có P= a +b + c

0,5
0,5


0,5


0,25
0,