Đề thi GVG môn Toán tỉnh Vĩnh Phúc 2012-2013

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN GIÁO VIÊN GIỎI THCS NĂM HỌC 2012-2013
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề)



I. PHẦN NHẬN THỨC CHUNG
Sau khi được quán triệt hoặc được nghiên cứu văn bản số 185/SGD&ĐT-GDTrH ngày 21/08/2012 của sở GD&ĐT Vĩnh Phúc về việc “Hướng dẫn thực hiện nhiệm vụ GDTrH năm học 2012-2013”, thầy cô đã xác định nhiệm vụ cơ bản nào mà mỗi giáo viên cần thực hiện trong năm học 2012-2013?

II. PHẦN CHUYÊN MÔN
Câu 1.
Gọi a,b,c là ba nghiệm của phương trình x3 – 9x2 + 24x – 18 =0. Hãy tính giá trị của biểu thức

Câu 2.
Trong mặt phẳng cho tam giác ABC và một điểm P ở bên trong tam giác. Gọi A1, B1, C1 theo thứ tự là hình chiếu của P trên các đường thẳng BC, CA, AB. Đường thẳng qua P song song với BC cắt đường tròn (PB1C1) tại điểm A2. Các điểm B2, C2 được xác định một cách tương tự.
Chứng minh rằng các đường thẳng AA2, BB2, CC2 đồng quy.
Chứng minh rằng các tam giác ABC, A2B2C2 đồng dạng.
(Kí hiệu (XYZ) để chỉ đường tròn đi qua ba điểm X, Y, Z).
Câu 3.
Cho m, n là các số nguyên dương phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại vô số bộ ba số nguyên dương (x; y; z) thỏa mãn x2 + y2 =(m2 +n2)z trong mỗi trường hợp z lẻ và z chẵn.
Chứng minh rằng phương trình: x2 + y2 =13z có vô số nghiệm nguyên dương.
Câu 4.
Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6. Tìm giá trị lớn nhất có thể được của tổng.

Câu 5.
Cho trước số nguyên dương k. Có 2k chiếc kẹo, được chia vào một số túi. Với hai túi A, B bất kỳ, có số kẹo tương ứng p, q ; Nếu
thì chuyển q chiếc kẹo từ túi A sang túi B. Chứng minh rằng, bằng làm như vậy, sau hữu hạn lần chuyển, tất cả các chiếc kẹo đều được chuyển vào một túi.



------------------------------Hết-------------------------------

Ghi chú: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cũng như máy tính cầm tay.
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm