Đề thi GVG huyện Sông Lô năm 2102-2013

PHÒNG GD & ĐT SÔNG LÔ
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014
MÔN : TOÁN
Thời gian : 180 phút (Không kể thời gian giao đề)


Câu 1 (1.5 điểm): Cho đa thức f(x) thỏa mãn: (x + 1)f(x) = (x + 3)f(x + 2)
x. Tính f(1) và f(5).
Câu 2 (1.5 điểm): Cho phương trình: (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = 0 (m là tham số). Tìm điều kiện của m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 3 (1.5 điểm): Cho a, b, c là các số thỏa mãn:


Chứng ming rằng một trong ba số a, b, c phải có một số là nghiệm của phương trình: x2 – 2014x + 2013 = 0.
Câu 4 (1.5 điểm): Cho hệ phương trình :
(m là tham số). Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm (x ; y) với x, y là các số nguyên dương.
Câu 5 (1 điểm): Trong một hình vuông cạnh 1m có 51 điểm phân biệt tùy ý. Chứng minh rằng có ít nhất 3 điểm nằm trong một hình tròn có bán kính bằng
m.
Câu 6 (2 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) với đường cao AH= R
. Gọi D, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H xuống AB và AC. Chứng minh:
Hai tam giác ADK và ACB đồng dạng.
b.

Câu 7 (1 điểm): Tìm giá trị nguyên lớn nhất của k sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi giá trị của x: (x + 1)(x + 2)2(x + 3)
k.
.... HẾT....

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
CÂU
NỘI DUNG TRÌNH BÀY
ĐIỂM

1
(1.5 đ)
Vì (x + 1)f(x) = (x + 3)f(x + 2)
x nên:
Cho x = -1 ta có: 0.f(-1) = 2.f(1) ( f(1) = 0

0.5


Cho x = 1 ta có: 2.f(1) = 4.f(3) ( f(3) = 0 (Do f(1) = 0)
0.5


Cho x = 3 ta có: 4.f(3) = 6.f(5) ( f(5) = 0 (Do f(3) = 0)
Vậy f(1) = f(5) = 0.
0.5

2
(1.5 đ)
 (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = 0 (*)
Phương trình (*) tương đương với

Ycbt thỏa mãn ( (1) và (2) đều có hai nghiệm phân biệt và chúng không có nghiệm chung.

0.25



(1) có hai nghiệm phân biệt khi: m2 – 8 > 0 (

0.25


(2) có hai nghiệm phân biệt khi: 1 – m > 0 ( m < 1
Suy ra: Để (1) và (2) đều có hai nghiệm phân biệt thì

0.25



Giả sử (1) và (2) có nghiệm chung là x0 ta có:

( (m – 2)(x0 – 1) = 0
0.25


Với
ta có x0 = 1. Với x0 = 1( m = - 3
0.25


Vậy để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt, điều kiện của tham số m là:

0.25

3
(1.5 đ)
Ta có :


0.25




0.25




0.5




0.25



Mặt khác phương trình :
x2 – 2014x + 2013 = 0 có nghiệm là x = 2013
Suy ra điều phải chứng minh.
0.25

4
(1.5 đ)
Từ hệ ta có: (m – 2)(m + 2)y = 5(m – 2) (*)
m = – 2: (*) vô nghiệm ( hệ vô nghiệm ( Loại m = – 2
0.25


m = 2: Hệ đã cho ( x + 2y = 4 (

(Do x, y nguyên dương) ( m = 2 thỏa mãn.
0.25



: Hệ có nghiệm duy nhất: