Đề thi-đáp án thi HSG Toán 9 năm học 2011-2012

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2011-2012
Môn: Toán (Thời gian: 150 phút)

Câu 1( 2,5 điểm): Cho biểu thức: P =

Rút gọn P
Tính giá trị của P khi x =

Tìm giá trị của x thỏa mãn đẳng thức: P.
= 6
- 3 -

Câu 2( 2,0 điểm
Cho a + b + c = 0 và a,b,c khác 0. Chứng minh rằng:


Giải phương trình:

Câu 3( 1,5
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của: A =

Cho x và y thỏa mãn:

Tính: x + y
Câu 4(2,5 điểmCho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH. CH có độ dài lần lượt là 4cm, 9cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.
Tính độ dài đoạn thẳng DE.
Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M và N. Tính diện tích tứ giác DENM.
Câu 5(1,5 điểmCho tam giác ABC vuông tại A( AB < AC). Trung tuyến AM. Gọi số đo của góc ACB là
. Số đo của góc AMB bằng
. Chứng minh rằng:
( sin
+ cos
)2 = 1 + sin



Hướng dẫn chấm:

Câu
Ý
Nội dung
Biểu điểm

1
a




1đ
P =

ĐKXĐ: x > 0 ,

P =

=

=
:

=
.

=



0,25



0,25




0,25

0,25


b


0,75đ
Với x =

ĐKXĐ
x = 4 - 2
= (



Nên P =
=
=
(

0,25

0,25

0,25


c)

0,75đ
ĐK: x
4
P.
= 6
- 3 -



.
= 6
- 3 -


(
= 6
- 3 -


x + 2
+ 1 = 6
- 3 -

(
(*)
Do (

x > 0;


x
4
Nên để (*) xảy ra thì
và


x =4(TM ĐKXĐ)



0,25


0,25


0,25


2
a)
1,0
Ta có

=
=
=



0,25

0,5

0,25


b
1,0

( ĐKXĐ: x
5)




x +7 = x – 5+ 4 +2


2
= 8


= 4
x= 9 (
ĐKXĐ)

0,25

0,25


0,5

3
a
0,75
A =
ĐKXĐ :

A2 = x -2 + 6- x +2

= 4 + 2

Vì 2

Nên A2
hay A

- Do đó minA = 2
x = 2 hoặc x = 6 ( tm ĐK)
Mặt khác A2 = 4 + 2

+ x -2 + 6 –x = 8
A2
hay A

- Do đó maxA =

x-2 = 6-x hay x = 4 (tm ĐK)


0,25


0,25


0,25



b
0,75

Vì

Nên

Tương tự :
=

Cộng vế theo vế: Ta có
x + y +
+
=
+
-x-y
2(x +y) = 0 nên x + y = 0


0,25

0,25


0,25



4
a)




1,0





Ta có Tứ giác ADHE là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông
Nên AH = DE
Mà AH2 = BH.CH( Theo hệ thức giữa đường cao và hình chiếu)
Nên AH2 = 4.9 = 36. Do đó AH = 6 nên DE = 6 (cm)






0,5

0,5


b)
1,5
Chứng minh được:
* M là trung điểm của BH nên DM =
BH = 2 cm
* N là trung điểm của HC nên EN =
HC